Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20845 / 12507
↖ ↑ ↗
← N 80.999600°
W122.747498°		 ← 47.78 m → N 80.999600°
W122.744751°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.999171°
W122.747498°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 N 80.999171°
W122.744751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159038543701172 y=0.0954246520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159038543701172 × 217)
    floor (0.159038543701172 × 131072)
    floor (20845.5)     		tx = 20845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954246520996094 × 217)
    floor (0.0954246520996094 × 131072)
    floor (12507.5)     		ty = 12507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20845 / 12507 ti = "17/20845/12507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20845/12507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20845 ÷ 217
    20845 ÷ 131072     		x = 0.159034729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12507 ÷ 217
    12507 ÷ 131072     		y = 0.0954208374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.159034729003906 × 2 - 1) × π
    -0.681930541992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.14234798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954208374023438 × 2 - 1) × π
    0.809158325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.54204584995196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14234798} λ = -2.14234798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54204584995196))-π/2
    2×atan(12.7056382285797)-π/2
    2×1.49225302297634-π/2
    2.98450604595268-1.57079632675     		φ = 1.41370972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14234798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.747498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41370972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.999600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20845 KachelY 12507 -2.14234798 1.41370972 -122.747498 80.999600
    Oben rechts KachelX + 1 20846 KachelY 12507 -2.14230004 1.41370972 -122.744751 80.999600
    Unten links KachelX 20845 KachelY + 1 12508 -2.14234798 1.41370222 -122.747498 80.999171
    Unten rechts KachelX + 1 20846 KachelY + 1 12508 -2.14230004 1.41370222 -122.744751 80.999171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41370972-1.41370222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41370972-1.41370222) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14234798--2.14230004) × cos(1.41370972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1564413532889 × 6371000     		do = 47.7812160948324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14234798--2.14230004) × cos(1.41370222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156448760938872 × 6371000     		du = 47.7834785818067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41370972)-sin(1.41370222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1564413532889-0.156448760938872)×R²
    abs(-2.14230004--2.14234798)×7.40764997178567e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40764997178567e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40764997178567e-06×40589641000000     		ar = 2283.16001151377m²