Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20839 / 12653
↖ ↑ ↗
← N 80.936650°
W122.763977°		 ← 48.10 m → N 80.936650°
W122.761231°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.936218°
W122.763977°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 N 80.936218°
W122.761231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158992767333984 y=0.0965385437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158992767333984 × 217)
    floor (0.158992767333984 × 131072)
    floor (20839.5)     		tx = 20839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965385437011719 × 217)
    floor (0.0965385437011719 × 131072)
    floor (12653.5)     		ty = 12653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20839 / 12653 ti = "17/20839/12653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20839/12653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20839 ÷ 217
    20839 ÷ 131072     		x = 0.158988952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12653 ÷ 217
    12653 ÷ 131072     		y = 0.0965347290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158988952636719 × 2 - 1) × π
    -0.682022094726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.14263560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0965347290039062 × 2 - 1) × π
    0.806930541992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.53504706260743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14263560} λ = -2.14263560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53504706260743))-π/2
    2×atan(12.6170246241413)-π/2
    2×1.49170367667992-π/2
    2.98340735335985-1.57079632675     		φ = 1.41261103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14263560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.763977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41261103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.936650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20839 KachelY 12653 -2.14263560 1.41261103 -122.763977 80.936650
    Oben rechts KachelX + 1 20840 KachelY 12653 -2.14258767 1.41261103 -122.761231 80.936650
    Unten links KachelX 20839 KachelY + 1 12654 -2.14263560 1.41260348 -122.763977 80.936218
    Unten rechts KachelX + 1 20840 KachelY + 1 12654 -2.14258767 1.41260348 -122.761231 80.936218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41261103-1.41260348) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41261103-1.41260348) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14263560--2.14258767) × cos(1.41261103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157526420753108 × 6371000     		do = 48.1025876198327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14263560--2.14258767) × cos(1.41260348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157533876485154 × 6371000     		du = 48.1048643173054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41261103)-sin(1.41260348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157526420753108-0.157533876485154)×R²
    abs(-2.14258767--2.14263560)×7.45573204596894e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45573204596894e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45573204596894e-06×40589641000000     		ar = 2313.83972796304m²