Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20837 / 12261
↖ ↑ ↗
← N 81.104688°
W122.769470°		 ← 47.23 m → N 81.104688°
W122.766724°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
N 81.104263°
W122.769470°		 ← 47.23 m →
2 233 m²		 N 81.104263°
W122.766724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158977508544922 y=0.0935478210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158977508544922 × 217)
    floor (0.158977508544922 × 131072)
    floor (20837.5)     		tx = 20837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935478210449219 × 217)
    floor (0.0935478210449219 × 131072)
    floor (12261.5)     		ty = 12261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20837 / 12261 ti = "17/20837/12261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20837/12261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20837 ÷ 217
    20837 ÷ 131072     		x = 0.158973693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12261 ÷ 217
    12261 ÷ 131072     		y = 0.0935440063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158973693847656 × 2 - 1) × π
    -0.682052612304688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14273148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0935440063476562 × 2 - 1) × π
    0.812911987304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.55383832725849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14273148} λ = -2.14273148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55383832725849))-π/2
    2×atan(12.8563561010039)-π/2
    2×1.49317008699899-π/2
    2.98634017399799-1.57079632675     		φ = 1.41554385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14273148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.769470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41554385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.104688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20837 KachelY 12261 -2.14273148 1.41554385 -122.769470 81.104688
    Oben rechts KachelX + 1 20838 KachelY 12261 -2.14268354 1.41554385 -122.766724 81.104688
    Unten links KachelX 20837 KachelY + 1 12262 -2.14273148 1.41553643 -122.769470 81.104263
    Unten rechts KachelX + 1 20838 KachelY + 1 12262 -2.14268354 1.41553643 -122.766724 81.104263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41554385-1.41553643) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41554385-1.41553643) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14273148--2.14268354) × cos(1.41554385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154629544352661 × 6371000     		do = 47.2278430097432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14273148--2.14268354) × cos(1.41553643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154636875104516 × 6371000     		du = 47.2300820100535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41554385)-sin(1.41553643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154629544352661-0.154636875104516)×R²
    abs(-2.14268354--2.14273148)×7.33075185568866e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.33075185568866e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.33075185568866e-06×40589641000000     		ar = 2232.64624347881m²