Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20836 / 12509
↖ ↑ ↗
← N 80.998741°
W122.772217°		 ← 47.78 m → N 80.998741°
W122.769470°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.998311°
W122.772217°		 ← 47.78 m →
2 283 m²		 N 80.998311°
W122.769470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158969879150391 y=0.0954399108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158969879150391 × 217)
    floor (0.158969879150391 × 131072)
    floor (20836.5)     		tx = 20836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954399108886719 × 217)
    floor (0.0954399108886719 × 131072)
    floor (12509.5)     		ty = 12509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20836 / 12509 ti = "17/20836/12509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20836/12509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20836 ÷ 217
    20836 ÷ 131072     		x = 0.158966064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12509 ÷ 217
    12509 ÷ 131072     		y = 0.0954360961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.68206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14277941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954360961914062 × 2 - 1) × π
    0.809127807617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.54194997615272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14277941} λ = -2.14277941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54194997615272))-π/2
    2×atan(12.7044201491629)-π/2
    2×1.49224552330777-π/2
    2.98449104661554-1.57079632675     		φ = 1.41369472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14277941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.772217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41369472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.998741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20836 KachelY 12509 -2.14277941 1.41369472 -122.772217 80.998741
    Oben rechts KachelX + 1 20837 KachelY 12509 -2.14273148 1.41369472 -122.769470 80.998741
    Unten links KachelX 20836 KachelY + 1 12510 -2.14277941 1.41368722 -122.772217 80.998311
    Unten rechts KachelX + 1 20837 KachelY + 1 12510 -2.14273148 1.41368722 -122.769470 80.998311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41369472-1.41368722) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41369472-1.41368722) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14277941--2.14273148) × cos(1.41369472) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156456168580043 × 6371000     		do = 47.7757732436535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14277941--2.14273148) × cos(1.41368722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156463576212414 × 6371000     		du = 47.7780352533118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41369472)-sin(1.41368722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156456168580043-0.156463576212414)×R²
    abs(-2.14273148--2.14277941)×7.40763237111475e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40763237111475e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40763237111475e-06×40589641000000     		ar = 2282.89992739754m²