Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20834 / 11809
↖ ↑ ↗
← N 81.294614°
W122.777710°		 ← 46.23 m → N 81.294614°
W122.774963°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.294198°
W122.777710°		 ← 46.23 m →
2 138 m²		 N 81.294198°
W122.774963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158954620361328 y=0.0900993347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158954620361328 × 217)
    floor (0.158954620361328 × 131072)
    floor (20834.5)     		tx = 20834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900993347167969 × 217)
    floor (0.0900993347167969 × 131072)
    floor (11809.5)     		ty = 11809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20834 / 11809 ti = "17/20834/11809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20834/11809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20834 ÷ 217
    20834 ÷ 131072     		x = 0.158950805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11809 ÷ 217
    11809 ÷ 131072     		y = 0.0900955200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158950805664062 × 2 - 1) × π
    -0.682098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14287529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0900955200195312 × 2 - 1) × π
    0.819808959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.57550580588676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14287529} λ = -2.14287529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57550580588676))-π/2
    2×atan(13.1379607360483)-π/2
    2×1.49482749684448-π/2
    2.98965499368896-1.57079632675     		φ = 1.41885867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14287529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.777710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41885867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.294614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20834 KachelY 11809 -2.14287529 1.41885867 -122.777710 81.294614
    Oben rechts KachelX + 1 20835 KachelY 11809 -2.14282735 1.41885867 -122.774963 81.294614
    Unten links KachelX 20834 KachelY + 1 11810 -2.14287529 1.41885141 -122.777710 81.294198
    Unten rechts KachelX + 1 20835 KachelY + 1 11810 -2.14282735 1.41885141 -122.774963 81.294198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41885867-1.41885141) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41885867-1.41885141) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14287529--2.14282735) × cos(1.41885867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1513537497388 × 6371000     		do = 46.2273310157173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14287529--2.14282735) × cos(1.41885141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151360926097158 × 6371000     		du = 46.2295228602794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41885867)-sin(1.41885141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1513537497388-0.151360926097158)×R²
    abs(-2.14282735--2.14287529)×7.17635835828512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17635835828512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17635835828512e-06×40589641000000     		ar = 2138.22469615379m²