Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20822 / 12958
↖ ↑ ↗
← N 80.803732°
W122.810669°		 ← 48.81 m → N 80.803732°
W122.807922°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.803293°
W122.810669°		 ← 48.81 m →
2 382 m²		 N 80.803293°
W122.807922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158863067626953 y=0.0988655090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158863067626953 × 217)
    floor (0.158863067626953 × 131072)
    floor (20822.5)     		tx = 20822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988655090332031 × 217)
    floor (0.0988655090332031 × 131072)
    floor (12958.5)     		ty = 12958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20822 / 12958 ti = "17/20822/12958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20822/12958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20822 ÷ 217
    20822 ÷ 131072     		x = 0.158859252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12958 ÷ 217
    12958 ÷ 131072     		y = 0.0988616943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158859252929688 × 2 - 1) × π
    -0.682281494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14345053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988616943359375 × 2 - 1) × π
    0.802276611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52042630822331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14345053} λ = -2.14345053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52042630822331))-π/2
    2×atan(12.4338962060785)-π/2
    2×1.49054374662352-π/2
    2.98108749324704-1.57079632675     		φ = 1.41029117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14345053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.810669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41029117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.803732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20822 KachelY 12958 -2.14345053 1.41029117 -122.810669 80.803732
    Oben rechts KachelX + 1 20823 KachelY 12958 -2.14340259 1.41029117 -122.807922 80.803732
    Unten links KachelX 20822 KachelY + 1 12959 -2.14345053 1.41028351 -122.810669 80.803293
    Unten rechts KachelX + 1 20823 KachelY + 1 12959 -2.14340259 1.41028351 -122.807922 80.803293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41029117-1.41028351) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dl = 48.8018600004838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41029117-1.41028351) × R
    7.66000000007594e-06 × 6371000     		dr = 48.8018600004838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14345053--2.14340259) × cos(1.41029117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159816890835661 × 6371000     		do = 48.8121921479489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14345053--2.14340259) × cos(1.41028351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159824452374516 × 6371000     		du = 48.8145016365493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41029117)-sin(1.41028351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159816890835661-0.159824452374516)×R²
    abs(-2.14340259--2.14345053)×7.56153885517197e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.56153885517197e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.56153885517197e-06×40589641000000     		ar = 2382.18212121678m²