Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20817 / 11760
↖ ↑ ↗
← N 81.314959°
W122.824402°		 ← 46.11 m → N 81.314959°
W122.821655°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.314544°
W122.824402°		 ← 46.11 m →
2 127 m²		 N 81.314544°
W122.821655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158824920654297 y=0.0897254943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158824920654297 × 217)
    floor (0.158824920654297 × 131072)
    floor (20817.5)     		tx = 20817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897254943847656 × 217)
    floor (0.0897254943847656 × 131072)
    floor (11760.5)     		ty = 11760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20817 / 11760 ti = "17/20817/11760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20817/11760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20817 ÷ 217
    20817 ÷ 131072     		x = 0.158821105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11760 ÷ 217
    11760 ÷ 131072     		y = 0.0897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158821105957031 × 2 - 1) × π
    -0.682357788085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.14369021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897216796875 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57785471396814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14369021} λ = -2.14369021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57785471396814))-π/2
    2×atan(13.1688568700781)-π/2
    2×1.49500504866338-π/2
    2.99001009732677-1.57079632675     		φ = 1.41921377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14369021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.824402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41921377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.314959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20817 KachelY 11760 -2.14369021 1.41921377 -122.824402 81.314959
    Oben rechts KachelX + 1 20818 KachelY 11760 -2.14364228 1.41921377 -122.821655 81.314959
    Unten links KachelX 20817 KachelY + 1 11761 -2.14369021 1.41920653 -122.824402 81.314544
    Unten rechts KachelX + 1 20818 KachelY + 1 11761 -2.14364228 1.41920653 -122.821655 81.314544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41921377-1.41920653) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41921377-1.41920653) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14369021--2.14364228) × cos(1.41921377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		do = 46.1105004968184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14369021--2.14364228) × cos(1.41920653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151009888053067 × 6371000     		du = 46.1126859659855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41921377)-sin(1.41920653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151002731075603-0.151009888053067)×R²
    abs(-2.14364228--2.14369021)×7.15697746386801e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.15697746386801e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.15697746386801e-06×40589641000000     		ar = 2126.9451937828m²