Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20816 / 4175
↖ ↑ ↗
← N 79.007057°
E 48.691406°		 ← 232.94 m → N 79.007057°
E 48.702392°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
N 79.004962°
E 48.691406°		 ← 232.98 m →
54 262 m²		 N 79.004962°
E 48.702392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635269165039062 y=0.127426147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635269165039062 × 215)
    floor (0.635269165039062 × 32768)
    floor (20816.5)     		tx = 20816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127426147460938 × 215)
    floor (0.127426147460938 × 32768)
    floor (4175.5)     		ty = 4175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20816 / 4175 ti = "15/20816/4175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20816/4175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20816 ÷ 215
    20816 ÷ 32768     		x = 0.63525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4175 ÷ 215
    4175 ÷ 32768     		y = 0.127410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    0.74517822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34104642984506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84982536} λ = 0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34104642984506))-π/2
    2×atan(10.3921054842899)-π/2
    2×1.47486480465831-π/2
    2.94972960931662-1.57079632675     		φ = 1.37893328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37893328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.007057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20816 KachelY 4175 0.84982536 1.37893328 48.691406 79.007057
    Oben rechts KachelX + 1 20817 KachelY 4175 0.85001710 1.37893328 48.702392 79.007057
    Unten links KachelX 20816 KachelY + 1 4176 0.84982536 1.37889672 48.691406 79.004962
    Unten rechts KachelX + 1 20817 KachelY + 1 4176 0.85001710 1.37889672 48.702392 79.004962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37893328-1.37889672) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dl = 232.923760000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37893328-1.37889672) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dr = 232.923760000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84982536-0.85001710) × cos(1.37893328) × R
    0.000191739999999996 × 0.190688086001782 × 6371000     		do = 232.939901629188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84982536-0.85001710) × cos(1.37889672) × R
    0.000191739999999996 × 0.190723975023126 × 6371000     		du = 232.983742779817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37893328)-sin(1.37889672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190688086001782-0.190723975023126)×R²
    abs(0.85001710-0.84982536)×3.58890213441598e-05×R²
    0.000191739999999996×3.58890213441598e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.58890213441598e-05×40589641000000     		ar = 54262.3435707721m²