Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20816 / 12591
↖ ↑ ↗
← N 80.963435°
W122.827148°		 ← 47.97 m → N 80.963435°
W122.824402°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.963004°
W122.827148°		 ← 47.97 m →
2 301 m²		 N 80.963004°
W122.824402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158817291259766 y=0.0960655212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158817291259766 × 217)
    floor (0.158817291259766 × 131072)
    floor (20816.5)     		tx = 20816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960655212402344 × 217)
    floor (0.0960655212402344 × 131072)
    floor (12591.5)     		ty = 12591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20816 / 12591 ti = "17/20816/12591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20816/12591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20816 ÷ 217
    20816 ÷ 131072     		x = 0.1588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12591 ÷ 217
    12591 ÷ 131072     		y = 0.0960617065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14373815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960617065429688 × 2 - 1) × π
    0.807876586914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.53801915038387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14373815} λ = -2.14373815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53801915038387))-π/2
    2×atan(12.6545793090675)-π/2
    2×1.49193742466054-π/2
    2.98387484932108-1.57079632675     		φ = 1.41307852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14373815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.827148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41307852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.963435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20816 KachelY 12591 -2.14373815 1.41307852 -122.827148 80.963435
    Oben rechts KachelX + 1 20817 KachelY 12591 -2.14369021 1.41307852 -122.824402 80.963435
    Unten links KachelX 20816 KachelY + 1 12592 -2.14373815 1.41307099 -122.827148 80.963004
    Unten rechts KachelX + 1 20817 KachelY + 1 12592 -2.14369021 1.41307099 -122.824402 80.963004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41307852-1.41307099) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41307852-1.41307099) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14373815--2.14369021) × cos(1.41307852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157064750275269 × 6371000     		do = 47.9716175807079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14373815--2.14369021) × cos(1.41307099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157072186810768 × 6371000     		du = 47.9738888900657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41307852)-sin(1.41307099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157064750275269-0.157072186810768)×R²
    abs(-2.14369021--2.14373815)×7.43653549914458e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43653549914458e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43653549914458e-06×40589641000000     		ar = 2301.42711383592m²