Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20811 / 12108
↖ ↑ ↗
← N 81.169433°
W122.840882°		 ← 46.89 m → N 81.169433°
W122.838135°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.169011°
W122.840882°		 ← 46.89 m →
2 196 m²		 N 81.169011°
W122.838135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158779144287109 y=0.0923805236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158779144287109 × 217)
    floor (0.158779144287109 × 131072)
    floor (20811.5)     		tx = 20811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923805236816406 × 217)
    floor (0.0923805236816406 × 131072)
    floor (12108.5)     		ty = 12108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20811 / 12108 ti = "17/20811/12108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20811/12108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20811 ÷ 217
    20811 ÷ 131072     		x = 0.158775329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12108 ÷ 217
    12108 ÷ 131072     		y = 0.092376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158775329589844 × 2 - 1) × π
    -0.682449340820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.14397784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092376708984375 × 2 - 1) × π
    0.81524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56117267290036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14397784} λ = -2.14397784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56117267290036))-π/2
    2×atan(12.9509956958513)-π/2
    2×1.49373509063296-π/2
    2.98747018126591-1.57079632675     		φ = 1.41667385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14397784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.840882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41667385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.169433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20811 KachelY 12108 -2.14397784 1.41667385 -122.840882 81.169433
    Oben rechts KachelX + 1 20812 KachelY 12108 -2.14392990 1.41667385 -122.838135 81.169433
    Unten links KachelX 20811 KachelY + 1 12109 -2.14397784 1.41666650 -122.840882 81.169011
    Unten rechts KachelX + 1 20812 KachelY + 1 12109 -2.14392990 1.41666650 -122.838135 81.169011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41667385-1.41666650) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41667385-1.41666650) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14397784--2.14392990) × cos(1.41667385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153513036917291 × 6371000     		do = 46.8868329000802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14397784--2.14392990) × cos(1.41666650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153520299790819 × 6371000     		du = 46.8890511686021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41667385)-sin(1.41666650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153513036917291-0.153520299790819)×R²
    abs(-2.14392990--2.14397784)×7.26287352847965e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26287352847965e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26287352847965e-06×40589641000000     		ar = 2195.61462849423m²