Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2081 / 6275
↖ ↑ ↗
← N 38.771216°
W134.274902°		 ← 1 904.91 m → N 38.771216°
W134.252929°		 →
↑
1 905.12 m
↓
↑
1 905.12 m
↓
N 38.754083°
W134.274902°		 ← 1 905.37 m →
3 629 515 m²		 N 38.754083°
W134.252929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127044677734375 y=0.383026123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127044677734375 × 214)
    floor (0.127044677734375 × 16384)
    floor (2081.5)     		tx = 2081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383026123046875 × 214)
    floor (0.383026123046875 × 16384)
    floor (6275.5)     		ty = 6275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2081 / 6275 ti = "14/2081/6275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2081/6275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2081 ÷ 214
    2081 ÷ 16384     		x = 0.12701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6275 ÷ 214
    6275 ÷ 16384     		y = 0.38299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34353915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38299560546875 × 2 - 1) × π
    0.2340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.735160292573181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34353915} λ = -2.34353915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735160292573181))-π/2
    2×atan(2.08581630657324)-π/2
    2×1.12374085374039-π/2
    2.24748170748077-1.57079632675     		φ = 0.67668538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34353915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67668538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.771216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2081 KachelY 6275 -2.34353915 0.67668538 -134.274902 38.771216
    Oben rechts KachelX + 1 2082 KachelY 6275 -2.34315565 0.67668538 -134.252929 38.771216
    Unten links KachelX 2081 KachelY + 1 6276 -2.34353915 0.67638635 -134.274902 38.754083
    Unten rechts KachelX + 1 2082 KachelY + 1 6276 -2.34315565 0.67638635 -134.252929 38.754083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67668538-0.67638635) × R
    0.000299029999999978 × 6371000     		dl = 1905.12012999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67668538-0.67638635) × R
    0.000299029999999978 × 6371000     		dr = 1905.12012999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34353915--2.34315565) × cos(0.67668538) × R
    0.00038349999999987 × 0.779652653390352 × 6371000     		do = 1904.90856549595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34353915--2.34315565) × cos(0.67638635) × R
    0.00038349999999987 × 0.779839874768796 × 6371000     		du = 1905.36599946465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67668538)-sin(0.67638635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779652653390352-0.779839874768796)×R²
    abs(-2.34315565--2.34353915)×0.000187221378444513×R²
    0.00038349999999987×0.000187221378444513×6371000²
    0.00038349999999987×0.000187221378444513×40589641000000     		ar = 3629515.41431157m²