Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20802 / 12223
↖ ↑ ↗
← N 81.120813°
W122.865601°		 ← 47.14 m → N 81.120813°
W122.862854°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.120389°
W122.865601°		 ← 47.15 m →
2 223 m²		 N 81.120389°
W122.862854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158710479736328 y=0.0932579040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158710479736328 × 217)
    floor (0.158710479736328 × 131072)
    floor (20802.5)     		tx = 20802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932579040527344 × 217)
    floor (0.0932579040527344 × 131072)
    floor (12223.5)     		ty = 12223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20802 / 12223 ti = "17/20802/12223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20802/12223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20802 ÷ 217
    20802 ÷ 131072     		x = 0.158706665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12223 ÷ 217
    12223 ÷ 131072     		y = 0.0932540893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158706665039062 × 2 - 1) × π
    -0.682586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14440927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0932540893554688 × 2 - 1) × π
    0.813491821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.55565992944405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14440927} λ = -2.14440927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55565992944405))-π/2
    2×atan(12.8797966105357)-π/2
    2×1.49331079710216-π/2
    2.98662159420432-1.57079632675     		φ = 1.41582527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14440927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.865601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41582527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.120813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20802 KachelY 12223 -2.14440927 1.41582527 -122.865601 81.120813
    Oben rechts KachelX + 1 20803 KachelY 12223 -2.14436133 1.41582527 -122.862854 81.120813
    Unten links KachelX 20802 KachelY + 1 12224 -2.14440927 1.41581787 -122.865601 81.120389
    Unten rechts KachelX + 1 20803 KachelY + 1 12224 -2.14436133 1.41581787 -122.862854 81.120389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41582527-1.41581787) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41582527-1.41581787) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14440927--2.14436133) × cos(1.41582527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154351503006105 × 6371000     		do = 47.1429220257209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14440927--2.14436133) × cos(1.41581787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154358814320269 × 6371000     		du = 47.1451550892597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41582527)-sin(1.41581787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154351503006105-0.154358814320269)×R²
    abs(-2.14436133--2.14440927)×7.31131416364939e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31131416364939e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31131416364939e-06×40589641000000     		ar = 2222.62455550207m²