Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20798 / 12520
↖ ↑ ↗
← N 80.994013°
W122.876587°		 ← 47.81 m → N 80.994013°
W122.873840°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.993583°
W122.876587°		 ← 47.81 m →
2 288 m²		 N 80.993583°
W122.873840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158679962158203 y=0.0955238342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158679962158203 × 217)
    floor (0.158679962158203 × 131072)
    floor (20798.5)     		tx = 20798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955238342285156 × 217)
    floor (0.0955238342285156 × 131072)
    floor (12520.5)     		ty = 12520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20798 / 12520 ti = "17/20798/12520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20798/12520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20798 ÷ 217
    20798 ÷ 131072     		x = 0.158676147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12520 ÷ 217
    12520 ÷ 131072     		y = 0.09552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.682647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14460102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09552001953125 × 2 - 1) × π
    0.8089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5414226702569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14460102} λ = -2.14460102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5414226702569))-π/2
    2×atan(12.6977227994464)-π/2
    2×1.49220426243406-π/2
    2.98440852486812-1.57079632675     		φ = 1.41361220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14460102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41361220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.994013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20798 KachelY 12520 -2.14460102 1.41361220 -122.876587 80.994013
    Oben rechts KachelX + 1 20799 KachelY 12520 -2.14455308 1.41361220 -122.873840 80.994013
    Unten links KachelX 20798 KachelY + 1 12521 -2.14460102 1.41360469 -122.876587 80.993583
    Unten rechts KachelX + 1 20799 KachelY + 1 12521 -2.14455308 1.41360469 -122.873840 80.993583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41361220-1.41360469) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41361220-1.41360469) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14460102--2.14455308) × cos(1.41361220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156537671805436 × 6371000     		do = 47.810634249021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14460102--2.14455308) × cos(1.41360469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156545089217657 × 6371000     		du = 47.8128997176374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41361220)-sin(1.41360469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156537671805436-0.156545089217657)×R²
    abs(-2.14455308--2.14460102)×7.41741222073933e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41741222073933e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41741222073933e-06×40589641000000     		ar = 2287.61184352158m²