Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20798 / 12518
↖ ↑ ↗
← N 80.994873°
W122.876587°		 ← 47.81 m → N 80.994873°
W122.873840°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.994443°
W122.876587°		 ← 47.81 m →
2 287 m²		 N 80.994443°
W122.873840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158679962158203 y=0.0955085754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158679962158203 × 217)
    floor (0.158679962158203 × 131072)
    floor (20798.5)     		tx = 20798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955085754394531 × 217)
    floor (0.0955085754394531 × 131072)
    floor (12518.5)     		ty = 12518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20798 / 12518 ti = "17/20798/12518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20798/12518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20798 ÷ 217
    20798 ÷ 131072     		x = 0.158676147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12518 ÷ 217
    12518 ÷ 131072     		y = 0.0955047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.682647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14460102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955047607421875 × 2 - 1) × π
    0.808990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54151854405614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14460102} λ = -2.14460102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54151854405614))-π/2
    2×atan(12.6989402367321)-π/2
    2×1.49221176600954-π/2
    2.98442353201908-1.57079632675     		φ = 1.41362721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14460102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.876587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41362721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.994873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20798 KachelY 12518 -2.14460102 1.41362721 -122.876587 80.994873
    Oben rechts KachelX + 1 20799 KachelY 12518 -2.14455308 1.41362721 -122.873840 80.994873
    Unten links KachelX 20798 KachelY + 1 12519 -2.14460102 1.41361970 -122.876587 80.994443
    Unten rechts KachelX + 1 20799 KachelY + 1 12519 -2.14455308 1.41361970 -122.873840 80.994443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41362721-1.41361970) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41362721-1.41361970) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14460102--2.14455308) × cos(1.41362721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156522846831252 × 6371000     		do = 47.8061063203103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14460102--2.14455308) × cos(1.41361970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156530264261118 × 6371000     		du = 47.8083717943161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41362721)-sin(1.41361970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156522846831252-0.156530264261118)×R²
    abs(-2.14455308--2.14460102)×7.41742986626326e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41742986626326e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41742986626326e-06×40589641000000     		ar = 2287.39519940988m²