Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20793 / 12632
↖ ↑ ↗
← N 80.945731°
W122.890320°		 ← 48.06 m → N 80.945731°
W122.887573°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.945299°
W122.890320°		 ← 48.07 m →
2 312 m²		 N 80.945299°
W122.887573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158641815185547 y=0.0963783264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158641815185547 × 217)
    floor (0.158641815185547 × 131072)
    floor (20793.5)     		tx = 20793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963783264160156 × 217)
    floor (0.0963783264160156 × 131072)
    floor (12632.5)     		ty = 12632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20793 / 12632 ti = "17/20793/12632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20793/12632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20793 ÷ 217
    20793 ÷ 131072     		x = 0.158638000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12632 ÷ 217
    12632 ÷ 131072     		y = 0.09637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158638000488281 × 2 - 1) × π
    -0.682723999023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.14484070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09637451171875 × 2 - 1) × π
    0.8072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53605373749945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14484070} λ = -2.14484070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53605373749945))-π/2
    2×atan(12.6297322611988)-π/2
    2×1.49178292622983-π/2
    2.98356585245967-1.57079632675     		φ = 1.41276953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14484070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.890320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41276953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.945731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20793 KachelY 12632 -2.14484070 1.41276953 -122.890320 80.945731
    Oben rechts KachelX + 1 20794 KachelY 12632 -2.14479276 1.41276953 -122.887573 80.945731
    Unten links KachelX 20793 KachelY + 1 12633 -2.14484070 1.41276198 -122.890320 80.945299
    Unten rechts KachelX + 1 20794 KachelY + 1 12633 -2.14479276 1.41276198 -122.887573 80.945299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41276953-1.41276198) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41276953-1.41276198) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14484070--2.14479276) × cos(1.41276953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157369897683544 × 6371000     		do = 48.0648174536893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14484070--2.14479276) × cos(1.41276198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157377353604009 × 6371000     		du = 48.0670946837146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41276953)-sin(1.41276198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157369897683544-0.157377353604009)×R²
    abs(-2.14479276--2.14484070)×7.45592046469401e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45592046469401e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45592046469401e-06×40589641000000     		ar = 2312.02295631191m²