Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20792 / 10951
↖ ↑ ↗
← N 81.644133°
W122.893067°		 ← 44.38 m → N 81.644133°
W122.890320°		 →
↑
44.41 m
↓
↑
44.41 m
↓
N 81.643734°
W122.893067°		 ← 44.39 m →
1 971 m²		 N 81.643734°
W122.890320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158634185791016 y=0.0835533142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158634185791016 × 217)
    floor (0.158634185791016 × 131072)
    floor (20792.5)     		tx = 20792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835533142089844 × 217)
    floor (0.0835533142089844 × 131072)
    floor (10951.5)     		ty = 10951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20792 / 10951 ti = "17/20792/10951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20792/10951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20792 ÷ 217
    20792 ÷ 131072     		x = 0.15863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10951 ÷ 217
    10951 ÷ 131072     		y = 0.0835494995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.6827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14488864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0835494995117188 × 2 - 1) × π
    0.832901000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.61663566576077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14488864} λ = -2.14488864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61663566576077))-π/2
    2×atan(13.6895896683926)-π/2
    2×1.49787763332215-π/2
    2.9957552666443-1.57079632675     		φ = 1.42495894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14488864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.893067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42495894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.644133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20792 KachelY 10951 -2.14488864 1.42495894 -122.893067 81.644133
    Oben rechts KachelX + 1 20793 KachelY 10951 -2.14484070 1.42495894 -122.890320 81.644133
    Unten links KachelX 20792 KachelY + 1 10952 -2.14488864 1.42495197 -122.893067 81.643734
    Unten rechts KachelX + 1 20793 KachelY + 1 10952 -2.14484070 1.42495197 -122.890320 81.643734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42495894-1.42495197) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dl = 44.405870000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42495894-1.42495197) × R
    6.97000000005055e-06 × 6371000     		dr = 44.405870000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14488864--2.14484070) × cos(1.42495894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145320978132493 × 6371000     		do = 44.3847672836113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14488864--2.14484070) × cos(1.42495197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145327874139366 × 6371000     		du = 44.3868735016137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42495894)-sin(1.42495197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145320978132493-0.145327874139366)×R²
    abs(-2.14484070--2.14488864)×6.89600687353575e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.89600687353575e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.89600687353575e-06×40589641000000     		ar = 1970.99097027832m²