Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20790 / 12522
↖ ↑ ↗
← N 80.993153°
W122.898560°		 ← 47.82 m → N 80.993153°
W122.895813°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.992723°
W122.898560°		 ← 47.82 m →
2 288 m²		 N 80.992723°
W122.895813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158618927001953 y=0.0955390930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158618927001953 × 217)
    floor (0.158618927001953 × 131072)
    floor (20790.5)     		tx = 20790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955390930175781 × 217)
    floor (0.0955390930175781 × 131072)
    floor (12522.5)     		ty = 12522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20790 / 12522 ti = "17/20790/12522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20790/12522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20790 ÷ 217
    20790 ÷ 131072     		x = 0.158615112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12522 ÷ 217
    12522 ÷ 131072     		y = 0.0955352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158615112304688 × 2 - 1) × π
    -0.682769775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14498451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955352783203125 × 2 - 1) × π
    0.808929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54132679645766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14498451} λ = -2.14498451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54132679645766))-π/2
    2×atan(12.6965054788754)-π/2
    2×1.49219675814802-π/2
    2.98439351629603-1.57079632675     		φ = 1.41359719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14498451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.898560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41359719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.993153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20790 KachelY 12522 -2.14498451 1.41359719 -122.898560 80.993153
    Oben rechts KachelX + 1 20791 KachelY 12522 -2.14493657 1.41359719 -122.895813 80.993153
    Unten links KachelX 20790 KachelY + 1 12523 -2.14498451 1.41358968 -122.898560 80.992723
    Unten rechts KachelX + 1 20791 KachelY + 1 12523 -2.14493657 1.41358968 -122.895813 80.992723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41359719-1.41358968) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dl = 47.8462099992185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41359719-1.41358968) × R
    7.50999999987734e-06 × 6371000     		dr = 47.8462099992185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14498451--2.14493657) × cos(1.41359719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156552496744352 × 6371000     		do = 47.81516216696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14498451--2.14493657) × cos(1.41358968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156559914138926 × 6371000     		du = 47.8174276301865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41359719)-sin(1.41358968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156552496744352-0.156559914138926)×R²
    abs(-2.14493657--2.14498451)×7.41739457374435e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41739457374435e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41739457374435e-06×40589641000000     		ar = 2287.82848720121m²