Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20788 / 12068
↖ ↑ ↗
← N 81.186282°
W122.904052°		 ← 46.79 m → N 81.186282°
W122.901306°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
N 81.185862°
W122.904052°		 ← 46.79 m →
2 188 m²		 N 81.185862°
W122.901306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158603668212891 y=0.0920753479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158603668212891 × 217)
    floor (0.158603668212891 × 131072)
    floor (20788.5)     		tx = 20788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0920753479003906 × 217)
    floor (0.0920753479003906 × 131072)
    floor (12068.5)     		ty = 12068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20788 / 12068 ti = "17/20788/12068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20788/12068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20788 ÷ 217
    20788 ÷ 131072     		x = 0.158599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12068 ÷ 217
    12068 ÷ 131072     		y = 0.092071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.68280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14508038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092071533203125 × 2 - 1) × π
    0.81585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56309014888516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14508038} λ = -2.14508038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56309014888516))-π/2
    2×atan(12.9758527428567)-π/2
    2×1.49388213006214-π/2
    2.98776426012428-1.57079632675     		φ = 1.41696793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14508038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.904052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41696793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.186282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20788 KachelY 12068 -2.14508038 1.41696793 -122.904052 81.186282
    Oben rechts KachelX + 1 20789 KachelY 12068 -2.14503245 1.41696793 -122.901306 81.186282
    Unten links KachelX 20788 KachelY + 1 12069 -2.14508038 1.41696059 -122.904052 81.185862
    Unten rechts KachelX + 1 20789 KachelY + 1 12069 -2.14503245 1.41696059 -122.901306 81.185862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41696793-1.41696059) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41696793-1.41696059) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14508038--2.14503245) × cos(1.41696793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153222436124607 × 6371000     		do = 46.7883141365838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14508038--2.14503245) × cos(1.41696059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153229689447739 × 6371000     		du = 46.7905290260599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41696793)-sin(1.41696059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153222436124607-0.153229689447739)×R²
    abs(-2.14503245--2.14508038)×7.25332313289417e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25332313289417e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25332313289417e-06×40589641000000     		ar = 2188.02027204661m²