Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20786 / 12523
↖ ↑ ↗
← N 80.992723°
W122.909546°		 ← 47.82 m → N 80.992723°
W122.906799°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.992293°
W122.909546°		 ← 47.82 m →
2 285 m²		 N 80.992293°
W122.906799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158588409423828 y=0.0955467224121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158588409423828 × 217)
    floor (0.158588409423828 × 131072)
    floor (20786.5)     		tx = 20786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955467224121094 × 217)
    floor (0.0955467224121094 × 131072)
    floor (12523.5)     		ty = 12523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20786 / 12523 ti = "17/20786/12523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20786/12523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20786 ÷ 217
    20786 ÷ 131072     		x = 0.158584594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12523 ÷ 217
    12523 ÷ 131072     		y = 0.0955429077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158584594726562 × 2 - 1) × π
    -0.682830810546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14517626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955429077148438 × 2 - 1) × π
    0.808914184570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.54127885955804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14517626} λ = -2.14517626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54127885955804))-π/2
    2×atan(12.6958968623545)-π/2
    2×1.49219300573851-π/2
    2.98438601147703-1.57079632675     		φ = 1.41358968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14517626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.909546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41358968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.992723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20786 KachelY 12523 -2.14517626 1.41358968 -122.909546 80.992723
    Oben rechts KachelX + 1 20787 KachelY 12523 -2.14512832 1.41358968 -122.906799 80.992723
    Unten links KachelX 20786 KachelY + 1 12524 -2.14517626 1.41358218 -122.909546 80.992293
    Unten rechts KachelX + 1 20787 KachelY + 1 12524 -2.14512832 1.41358218 -122.906799 80.992293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41358968-1.41358218) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41358968-1.41358218) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14517626--2.14512832) × cos(1.41358968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156559914138926 × 6371000     		do = 47.8174276301865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14517626--2.14512832) × cos(1.41358218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156567321647997 × 6371000     		du = 47.8196900741261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41358968)-sin(1.41358218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156559914138926-0.156567321647997)×R²
    abs(-2.14512832--2.14517626)×7.40750907116117e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40750907116117e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40750907116117e-06×40589641000000     		ar = 2284.8902883377m²