Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20785 / 4153
↖ ↑ ↗
← N 79.053051°
E 48.350830°		 ← 231.99 m → N 79.053051°
E 48.361816°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
N 79.050965°
E 48.350830°		 ← 232.03 m →
53 834 m²		 N 79.050965°
E 48.361816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634323120117188 y=0.126754760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634323120117188 × 215)
    floor (0.634323120117188 × 32768)
    floor (20785.5)     		tx = 20785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126754760742188 × 215)
    floor (0.126754760742188 × 32768)
    floor (4153.5)     		ty = 4153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20785 / 4153 ti = "15/20785/4153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20785/4153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20785 ÷ 215
    20785 ÷ 32768     		x = 0.634307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4153 ÷ 215
    4153 ÷ 32768     		y = 0.126739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634307861328125 × 2 - 1) × π
    0.26861572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84388118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126739501953125 × 2 - 1) × π
    0.74652099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34526487701163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84388118} λ = 0.84388118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34526487701163))-π/2
    2×atan(10.4360366276811)-π/2
    2×1.47526617679499-π/2
    2.95053235358997-1.57079632675     		φ = 1.37973603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84388118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.350830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37973603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.053051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20785 KachelY 4153 0.84388118 1.37973603 48.350830 79.053051
    Oben rechts KachelX + 1 20786 KachelY 4153 0.84407293 1.37973603 48.361816 79.053051
    Unten links KachelX 20785 KachelY + 1 4154 0.84388118 1.37969961 48.350830 79.050965
    Unten rechts KachelX + 1 20786 KachelY + 1 4154 0.84407293 1.37969961 48.361816 79.050965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37973603-1.37969961) × R
    3.64199999998149e-05 × 6371000     		dl = 232.031819998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37973603-1.37969961) × R
    3.64199999998149e-05 × 6371000     		dr = 232.031819998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84388118-0.84407293) × cos(1.37973603) × R
    0.000191750000000046 × 0.189900004564135 × 6371000     		do = 231.989299150782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84388118-0.84407293) × cos(1.37969961) × R
    0.000191750000000046 × 0.189935761719348 × 6371000     		du = 232.032981495058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37973603)-sin(1.37969961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189900004564135-0.189935761719348)×R²
    abs(0.84407293-0.84388118)×3.57571552123681e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57571552123681e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57571552123681e-05×40589641000000     		ar = 53833.9671551276m²