Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20784 / 12560
↖ ↑ ↗
← N 80.976799°
W122.915039°		 ← 47.90 m → N 80.976799°
W122.912292°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
N 80.976368°
W122.915039°		 ← 47.90 m →
2 295 m²		 N 80.976368°
W122.912292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158573150634766 y=0.0958290100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158573150634766 × 217)
    floor (0.158573150634766 × 131072)
    floor (20784.5)     		tx = 20784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958290100097656 × 217)
    floor (0.0958290100097656 × 131072)
    floor (12560.5)     		ty = 12560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20784 / 12560 ti = "17/20784/12560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20784/12560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20784 ÷ 217
    20784 ÷ 131072     		x = 0.1585693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12560 ÷ 217
    12560 ÷ 131072     		y = 0.0958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14527213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0958251953125 × 2 - 1) × π
    0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14527213} λ = -2.14527213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53950519427209))-π/2
    2×atan(12.6733985489527)-π/2
    2×1.4920540416193-π/2
    2.98410808323859-1.57079632675     		φ = 1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14527213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20784 KachelY 12560 -2.14527213 1.41331176 -122.915039 80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 20785 KachelY 12560 -2.14522419 1.41331176 -122.912292 80.976799
    Unten links KachelX 20784 KachelY + 1 12561 -2.14527213 1.41330424 -122.915039 80.976368
    Unten rechts KachelX + 1 20785 KachelY + 1 12561 -2.14522419 1.41330424 -122.912292 80.976368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41331176-1.41330424) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41331176-1.41330424) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14527213--2.14522419) × cos(1.41331176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 47.9012629548702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14527213--2.14522419) × cos(1.41330424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156841827843308 × 6371000     		du = 47.9035313319637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41331176)-sin(1.41330424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156841827843308)×R²
    abs(-2.14522419--2.14527213)×7.42693491850854e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42693491850854e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42693491850854e-06×40589641000000     		ar = 2295.00001498241m²