Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20783 / 12339
↖ ↑ ↗
← N 81.071500°
W122.917786°		 ← 47.40 m → N 81.071500°
W122.915039°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.071074°
W122.917786°		 ← 47.40 m →
2 247 m²		 N 81.071074°
W122.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158565521240234 y=0.0941429138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158565521240234 × 217)
    floor (0.158565521240234 × 131072)
    floor (20783.5)     		tx = 20783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941429138183594 × 217)
    floor (0.0941429138183594 × 131072)
    floor (12339.5)     		ty = 12339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20783 / 12339 ti = "17/20783/12339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20783/12339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20783 ÷ 217
    20783 ÷ 131072     		x = 0.158561706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12339 ÷ 217
    12339 ÷ 131072     		y = 0.0941390991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158561706542969 × 2 - 1) × π
    -0.682876586914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14532007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941390991210938 × 2 - 1) × π
    0.811721801757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.55009924908813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14532007} λ = -2.14532007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55009924908813))-π/2
    2×atan(12.8083749391145)-π/2
    2×1.49288046641781-π/2
    2.98576093283562-1.57079632675     		φ = 1.41496461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14532007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.917786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41496461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.071500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20783 KachelY 12339 -2.14532007 1.41496461 -122.917786 81.071500
    Oben rechts KachelX + 1 20784 KachelY 12339 -2.14527213 1.41496461 -122.915039 81.071500
    Unten links KachelX 20783 KachelY + 1 12340 -2.14532007 1.41495717 -122.917786 81.071074
    Unten rechts KachelX + 1 20784 KachelY + 1 12340 -2.14527213 1.41495717 -122.915039 81.071074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41496461-1.41495717) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41496461-1.41495717) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14532007--2.14527213) × cos(1.41496461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155201791583667 × 6371000     		do = 47.4026220437362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14532007--2.14527213) × cos(1.41495717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155209141427318 × 6371000     		du = 47.4048668751722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41496461)-sin(1.41495717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155201791583667-0.155209141427318)×R²
    abs(-2.14527213--2.14532007)×7.34984365102775e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34984365102775e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34984365102775e-06×40589641000000     		ar = 2246.94886404659m²