Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20782 / 4150
↖ ↑ ↗
← N 79.059308°
E 48.317871°		 ← 231.86 m → N 79.059308°
E 48.328858°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
N 79.057223°
E 48.317871°		 ← 231.90 m →
53 759 m²		 N 79.057223°
E 48.328858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634231567382812 y=0.126663208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634231567382812 × 215)
    floor (0.634231567382812 × 32768)
    floor (20782.5)     		tx = 20782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126663208007812 × 215)
    floor (0.126663208007812 × 32768)
    floor (4150.5)     		ty = 4150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20782 / 4150 ti = "15/20782/4150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20782/4150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20782 ÷ 215
    20782 ÷ 32768     		x = 0.63421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4150 ÷ 215
    4150 ÷ 32768     		y = 0.12664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63421630859375 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84330594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12664794921875 × 2 - 1) × π
    0.7467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34584011980707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84330594} λ = 0.84330594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34584011980707))-π/2
    2×atan(10.4420416095598)-π/2
    2×1.47532078067961-π/2
    2.95064156135921-1.57079632675     		φ = 1.37984523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84330594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37984523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.059308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20782 KachelY 4150 0.84330594 1.37984523 48.317871 79.059308
    Oben rechts KachelX + 1 20783 KachelY 4150 0.84349769 1.37984523 48.328858 79.059308
    Unten links KachelX 20782 KachelY + 1 4151 0.84330594 1.37980884 48.317871 79.057223
    Unten rechts KachelX + 1 20783 KachelY + 1 4151 0.84349769 1.37980884 48.328858 79.057223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37984523-1.37980884) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37984523-1.37980884) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84330594-0.84349769) × cos(1.37984523) × R
    0.000191749999999935 × 0.189792790496819 × 6371000     		do = 231.858322237862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84330594-0.84349769) × cos(1.37980884) × R
    0.000191749999999935 × 0.189828518952616 × 6371000     		du = 231.901969521806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37984523)-sin(1.37980884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189792790496819-0.189828518952616)×R²
    abs(0.84349769-0.84330594)×3.57284557971904e-05×R²
    0.000191749999999935×3.57284557971904e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.57284557971904e-05×40589641000000     		ar = 53759.2530239097m²