Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20782 / 12343
↖ ↑ ↗
← N 81.069795°
W122.920532°		 ← 47.41 m → N 81.069795°
W122.917786°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.069368°
W122.920532°		 ← 47.41 m →
2 247 m²		 N 81.069368°
W122.917786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158557891845703 y=0.0941734313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158557891845703 × 217)
    floor (0.158557891845703 × 131072)
    floor (20782.5)     		tx = 20782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0941734313964844 × 217)
    floor (0.0941734313964844 × 131072)
    floor (12343.5)     		ty = 12343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20782 / 12343 ti = "17/20782/12343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20782/12343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20782 ÷ 217
    20782 ÷ 131072     		x = 0.158554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12343 ÷ 217
    12343 ÷ 131072     		y = 0.0941696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158554077148438 × 2 - 1) × π
    -0.682891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14536801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0941696166992188 × 2 - 1) × π
    0.811660766601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.54990750148965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14536801} λ = -2.14536801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54990750148965))-π/2
    2×atan(12.8059191994281)-π/2
    2×1.49286558522265-π/2
    2.98573117044529-1.57079632675     		φ = 1.41493484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14536801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.920532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41493484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.069795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20782 KachelY 12343 -2.14536801 1.41493484 -122.920532 81.069795
    Oben rechts KachelX + 1 20783 KachelY 12343 -2.14532007 1.41493484 -122.917786 81.069795
    Unten links KachelX 20782 KachelY + 1 12344 -2.14536801 1.41492740 -122.920532 81.069368
    Unten rechts KachelX + 1 20783 KachelY + 1 12344 -2.14532007 1.41492740 -122.917786 81.069368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41493484-1.41492740) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dl = 47.4002399990996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41493484-1.41492740) × R
    7.43999999985867e-06 × 6371000     		dr = 47.4002399990996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14536801--2.14532007) × cos(1.41493484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155231200785504 × 6371000     		do = 47.4116043709699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14536801--2.14532007) × cos(1.41492740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155238550594775 × 6371000     		du = 47.4138491919055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41493484)-sin(1.41492740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155231200785504-0.155238550594775)×R²
    abs(-2.14532007--2.14536801)×7.34980927150075e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34980927150075e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34980927150075e-06×40589641000000     		ar = 2247.3746286463m²