Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20781 / 4293
↖ ↑ ↗
← N 78.757087°
E 48.306885°		 ← 238.18 m → N 78.757087°
E 48.317871°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
N 78.754945°
E 48.306885°		 ← 238.23 m →
56 728 m²		 N 78.754945°
E 48.317871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634201049804688 y=0.131027221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634201049804688 × 215)
    floor (0.634201049804688 × 32768)
    floor (20781.5)     		tx = 20781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131027221679688 × 215)
    floor (0.131027221679688 × 32768)
    floor (4293.5)     		ty = 4293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20781 / 4293 ti = "15/20781/4293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20781/4293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20781 ÷ 215
    20781 ÷ 32768     		x = 0.634185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4293 ÷ 215
    4293 ÷ 32768     		y = 0.131011962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634185791015625 × 2 - 1) × π
    0.26837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84311419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131011962890625 × 2 - 1) × π
    0.73797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3184202132244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84311419} λ = 0.84311419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3184202132244))-π/2
    2×atan(10.1596116015365)-π/2
    2×1.47268340057259-π/2
    2.94536680114519-1.57079632675     		φ = 1.37457047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84311419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.306885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37457047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.757087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20781 KachelY 4293 0.84311419 1.37457047 48.306885 78.757087
    Oben rechts KachelX + 1 20782 KachelY 4293 0.84330594 1.37457047 48.317871 78.757087
    Unten links KachelX 20781 KachelY + 1 4294 0.84311419 1.37453309 48.306885 78.754945
    Unten rechts KachelX + 1 20782 KachelY + 1 4294 0.84330594 1.37453309 48.317871 78.754945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37457047-1.37453309) × R
    3.73800000001978e-05 × 6371000     		dl = 238.14798000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37457047-1.37453309) × R
    3.73800000001978e-05 × 6371000     		dr = 238.14798000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84311419-0.84330594) × cos(1.37457047) × R
    0.000191750000000046 × 0.194969013024176 × 6371000     		do = 238.181798844152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84311419-0.84330594) × cos(1.37453309) × R
    0.000191750000000046 × 0.19500567554342 × 6371000     		du = 238.226587216664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37457047)-sin(1.37453309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194969013024176-0.19500567554342)×R²
    abs(0.84330594-0.84311419)×3.6662519244085e-05×R²
    0.000191750000000046×3.6662519244085e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.6662519244085e-05×40589641000000     		ar = 56727.8474046936m²