Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20780 / 12069
↖ ↑ ↗
← N 81.185862°
W122.926025°		 ← 46.80 m → N 81.185862°
W122.923279°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
N 81.185440°
W122.926025°		 ← 46.80 m →
2 192 m²		 N 81.185440°
W122.923279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158542633056641 y=0.0920829772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158542633056641 × 217)
    floor (0.158542633056641 × 131072)
    floor (20780.5)     		tx = 20780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0920829772949219 × 217)
    floor (0.0920829772949219 × 131072)
    floor (12069.5)     		ty = 12069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20780 / 12069 ti = "17/20780/12069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20780/12069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20780 ÷ 217
    20780 ÷ 131072     		x = 0.158538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12069 ÷ 217
    12069 ÷ 131072     		y = 0.0920791625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.68292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14546388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0920791625976562 × 2 - 1) × π
    0.815841674804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.56304221198554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14546388} λ = -2.14546388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56304221198554))-π/2
    2×atan(12.9752307356149)-π/2
    2×1.49387845747096-π/2
    2.98775691494193-1.57079632675     		φ = 1.41696059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14546388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41696059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.185862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20780 KachelY 12069 -2.14546388 1.41696059 -122.926025 81.185862
    Oben rechts KachelX + 1 20781 KachelY 12069 -2.14541594 1.41696059 -122.923279 81.185862
    Unten links KachelX 20780 KachelY + 1 12070 -2.14546388 1.41695324 -122.926025 81.185440
    Unten rechts KachelX + 1 20781 KachelY + 1 12070 -2.14541594 1.41695324 -122.923279 81.185440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41696059-1.41695324) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41696059-1.41695324) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14546388--2.14541594) × cos(1.41696059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153229689447739 × 6371000     		do = 46.8002912895153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14546388--2.14541594) × cos(1.41695324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153236952644512 × 6371000     		du = 46.8025096567642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41696059)-sin(1.41695324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153229689447739-0.153236952644512)×R²
    abs(-2.14541594--2.14546388)×7.26319677224474e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.26319677224474e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.26319677224474e-06×40589641000000     		ar = 2191.56215970419m²