Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20778 / 12574
↖ ↑ ↗
← N 80.970766°
W122.931518°		 ← 47.92 m → N 80.970766°
W122.928772°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.970335°
W122.931518°		 ← 47.93 m →
2 299 m²		 N 80.970335°
W122.928772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158527374267578 y=0.0959358215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158527374267578 × 217)
    floor (0.158527374267578 × 131072)
    floor (20778.5)     		tx = 20778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0959358215332031 × 217)
    floor (0.0959358215332031 × 131072)
    floor (12574.5)     		ty = 12574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20778 / 12574 ti = "17/20778/12574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20778/12574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20778 ÷ 217
    20778 ÷ 131072     		x = 0.158523559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12574 ÷ 217
    12574 ÷ 131072     		y = 0.0959320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158523559570312 × 2 - 1) × π
    -0.682952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14555975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0959320068359375 × 2 - 1) × π
    0.808135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53883407767741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14555975} λ = -2.14555975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53883407767741))-π/2
    2×atan(12.6648960742705)-π/2
    2×1.49200139708891-π/2
    2.98400279417782-1.57079632675     		φ = 1.41320647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14555975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.931518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41320647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.970766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20778 KachelY 12574 -2.14555975 1.41320647 -122.931518 80.970766
    Oben rechts KachelX + 1 20779 KachelY 12574 -2.14551182 1.41320647 -122.928772 80.970766
    Unten links KachelX 20778 KachelY + 1 12575 -2.14555975 1.41319894 -122.931518 80.970335
    Unten rechts KachelX + 1 20779 KachelY + 1 12575 -2.14551182 1.41319894 -122.928772 80.970335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41320647-1.41319894) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41320647-1.41319894) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14555975--2.14551182) × cos(1.41320647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156938387066058 × 6371000     		do = 47.9230244594465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14555975--2.14551182) × cos(1.41319894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156945823752826 × 6371000     		du = 47.9252953412144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41320647)-sin(1.41319894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156938387066058-0.156945823752826)×R²
    abs(-2.14551182--2.14555975)×7.43668676797538e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.43668676797538e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.43668676797538e-06×40589641000000     		ar = 2299.09591510698m²