Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20775 / 5158
↖ ↑ ↗
← N 76.745436°
E 48.240967°		 ← 280.09 m → N 76.745436°
E 48.251953°		 →
↑
280.07 m
↓
↑
280.07 m
↓
N 76.742917°
E 48.240967°		 ← 280.15 m →
78 453 m²		 N 76.742917°
E 48.251953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634017944335938 y=0.157424926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634017944335938 × 215)
    floor (0.634017944335938 × 32768)
    floor (20775.5)     		tx = 20775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157424926757812 × 215)
    floor (0.157424926757812 × 32768)
    floor (5158.5)     		ty = 5158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20775 / 5158 ti = "15/20775/5158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20775/5158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20775 ÷ 215
    20775 ÷ 32768     		x = 0.634002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5158 ÷ 215
    5158 ÷ 32768     		y = 0.15740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634002685546875 × 2 - 1) × π
    0.26800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84196370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15740966796875 × 2 - 1) × π
    0.6851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.152558540539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84196370} λ = 0.84196370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.152558540539))-π/2
    2×atan(8.60685122818619)-π/2
    2×1.45512843574362-π/2
    2.91025687148724-1.57079632675     		φ = 1.33946054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84196370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.240967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33946054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.745436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20775 KachelY 5158 0.84196370 1.33946054 48.240967 76.745436
    Oben rechts KachelX + 1 20776 KachelY 5158 0.84215545 1.33946054 48.251953 76.745436
    Unten links KachelX 20775 KachelY + 1 5159 0.84196370 1.33941658 48.240967 76.742917
    Unten rechts KachelX + 1 20776 KachelY + 1 5159 0.84215545 1.33941658 48.251953 76.742917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33946054-1.33941658) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dl = 280.069159999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33946054-1.33941658) × R
    4.3959999999954e-05 × 6371000     		dr = 280.069159999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84196370-0.84215545) × cos(1.33946054) × R
    0.000191750000000046 × 0.229277930468363 × 6371000     		do = 280.094919018991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84196370-0.84215545) × cos(1.33941658) × R
    0.000191750000000046 × 0.229320719196243 × 6371000     		du = 280.147191408426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33946054)-sin(1.33941658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229277930468363-0.229320719196243)×R²
    abs(0.84215545-0.84196370)×4.27887278793004e-05×R²
    0.000191750000000046×4.27887278793004e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.27887278793004e-05×40589641000000     		ar = 78453.2686446809m²