Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20773 / 13347
↖ ↑ ↗
← N 80.631399°
W122.945252°		 ← 49.72 m → N 80.631399°
W122.942505°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.630952°
W122.945252°		 ← 49.72 m →
2 471 m²		 N 80.630952°
W122.942505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158489227294922 y=0.101833343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158489227294922 × 217)
    floor (0.158489227294922 × 131072)
    floor (20773.5)     		tx = 20773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101833343505859 × 217)
    floor (0.101833343505859 × 131072)
    floor (13347.5)     		ty = 13347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20773 / 13347 ti = "17/20773/13347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20773/13347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20773 ÷ 217
    20773 ÷ 131072     		x = 0.158485412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13347 ÷ 217
    13347 ÷ 131072     		y = 0.101829528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158485412597656 × 2 - 1) × π
    -0.683029174804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14579944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101829528808594 × 2 - 1) × π
    0.796340942382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.50177885427111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14579944} λ = -2.14579944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50177885427111))-π/2
    2×atan(12.2041841282223)-π/2
    2×1.48903986064092-π/2
    2.97807972128185-1.57079632675     		φ = 1.40728339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14579944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.945252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40728339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.631399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20773 KachelY 13347 -2.14579944 1.40728339 -122.945252 80.631399
    Oben rechts KachelX + 1 20774 KachelY 13347 -2.14575150 1.40728339 -122.942505 80.631399
    Unten links KachelX 20773 KachelY + 1 13348 -2.14579944 1.40727559 -122.945252 80.630952
    Unten rechts KachelX + 1 20774 KachelY + 1 13348 -2.14575150 1.40727559 -122.942505 80.630952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40728339-1.40727559) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dl = 49.693799999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40728339-1.40727559) × R
    7.79999999989123e-06 × 6371000     		dr = 49.693799999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14579944--2.14575150) × cos(1.40728339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162785283479799 × 6371000     		do = 49.7188156678948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14579944--2.14575150) × cos(1.40727559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162792979434689 × 6371000     		du = 49.721166210612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40728339)-sin(1.40727559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162785283479799-0.162792979434689)×R²
    abs(-2.14575150--2.14579944)×7.69595488978037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.69595488978037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.69595488978037e-06×40589641000000     		ar = 2470.77528560213m²