Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20772 / 12585
↖ ↑ ↗
← N 80.966023°
W122.947998°		 ← 47.95 m → N 80.966023°
W122.945252°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.965592°
W122.947998°		 ← 47.95 m →
2 300 m²		 N 80.965592°
W122.945252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158481597900391 y=0.0960197448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158481597900391 × 217)
    floor (0.158481597900391 × 131072)
    floor (20772.5)     		tx = 20772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960197448730469 × 217)
    floor (0.0960197448730469 × 131072)
    floor (12585.5)     		ty = 12585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20772 / 12585 ti = "17/20772/12585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20772/12585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20772 ÷ 217
    20772 ÷ 131072     		x = 0.158477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12585 ÷ 217
    12585 ÷ 131072     		y = 0.0960159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.68304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14584737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960159301757812 × 2 - 1) × π
    0.807968139648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.53830677178159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14584737} λ = -2.14584737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53830677178159))-π/2
    2×atan(12.6582195603379)-π/2
    2×1.49196000904396-π/2
    2.98392001808792-1.57079632675     		φ = 1.41312369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14584737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.947998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41312369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.966023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20772 KachelY 12585 -2.14584737 1.41312369 -122.947998 80.966023
    Oben rechts KachelX + 1 20773 KachelY 12585 -2.14579944 1.41312369 -122.945252 80.966023
    Unten links KachelX 20772 KachelY + 1 12586 -2.14584737 1.41311616 -122.947998 80.965592
    Unten rechts KachelX + 1 20773 KachelY + 1 12586 -2.14579944 1.41311616 -122.945252 80.965592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41312369-1.41311616) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41312369-1.41311616) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14584737--2.14579944) × cos(1.41312369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157020140751223 × 6371000     		do = 47.9479889307086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14584737--2.14579944) × cos(1.41311616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		du = 47.9502597825961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41312369)-sin(1.41311616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157020140751223-0.157027577340139)×R²
    abs(-2.14579944--2.14584737)×7.43658891527721e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.43658891527721e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.43658891527721e-06×40589641000000     		ar = 2300.29355073567m²