Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20770 / 12513
↖ ↑ ↗
← N 80.997022°
W122.953491°		 ← 47.79 m → N 80.997022°
W122.950745°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.996592°
W122.953491°		 ← 47.80 m →
2 284 m²		 N 80.996592°
W122.950745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158466339111328 y=0.0954704284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158466339111328 × 217)
    floor (0.158466339111328 × 131072)
    floor (20770.5)     		tx = 20770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954704284667969 × 217)
    floor (0.0954704284667969 × 131072)
    floor (12513.5)     		ty = 12513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20770 / 12513 ti = "17/20770/12513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20770/12513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20770 ÷ 217
    20770 ÷ 131072     		x = 0.158462524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12513 ÷ 217
    12513 ÷ 131072     		y = 0.0954666137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.683074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14594325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954666137695312 × 2 - 1) × π
    0.809066772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.54175822855424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14594325} λ = -2.14594325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54175822855424))-π/2
    2×atan(12.7019843406469)-π/2
    2×1.49223052183997-π/2
    2.98446104367994-1.57079632675     		φ = 1.41366472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14594325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.953491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41366472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.997022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20770 KachelY 12513 -2.14594325 1.41366472 -122.953491 80.997022
    Oben rechts KachelX + 1 20771 KachelY 12513 -2.14589531 1.41366472 -122.950745 80.997022
    Unten links KachelX 20770 KachelY + 1 12514 -2.14594325 1.41365722 -122.953491 80.996592
    Unten rechts KachelX + 1 20771 KachelY + 1 12514 -2.14589531 1.41365722 -122.950745 80.996592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41366472-1.41365722) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41366472-1.41365722) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14594325--2.14589531) × cos(1.41366472) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156485799056719 × 6371000     		do = 47.7947909768011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14594325--2.14589531) × cos(1.41365722) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.156493206653883 × 6371000     		du = 47.7970534476466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41366472)-sin(1.41365722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156485799056719-0.156493206653883)×R²
    abs(-2.14589531--2.14594325)×7.40759716430506e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.40759716430506e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.40759716430506e-06×40589641000000     		ar = 2283.80865306283m²