Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20768 / 12575
↖ ↑ ↗
← N 80.970335°
W122.958984°		 ← 47.93 m → N 80.970335°
W122.956238°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
N 80.969904°
W122.958984°		 ← 47.93 m →
2 296 m²		 N 80.969904°
W122.956238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158451080322266 y=0.0959434509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158451080322266 × 217)
    floor (0.158451080322266 × 131072)
    floor (20768.5)     		tx = 20768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0959434509277344 × 217)
    floor (0.0959434509277344 × 131072)
    floor (12575.5)     		ty = 12575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20768 / 12575 ti = "17/20768/12575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20768/12575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20768 ÷ 217
    20768 ÷ 131072     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12575 ÷ 217
    12575 ÷ 131072     		y = 0.0959396362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0959396362304688 × 2 - 1) × π
    0.808120727539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.53878614077779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53878614077779))-π/2
    2×atan(12.6642889729701)-π/2
    2×1.49199763542995-π/2
    2.9839952708599-1.57079632675     		φ = 1.41319894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41319894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.970335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20768 KachelY 12575 -2.14603912 1.41319894 -122.958984 80.970335
    Oben rechts KachelX + 1 20769 KachelY 12575 -2.14599119 1.41319894 -122.956238 80.970335
    Unten links KachelX 20768 KachelY + 1 12576 -2.14603912 1.41319142 -122.958984 80.969904
    Unten rechts KachelX + 1 20769 KachelY + 1 12576 -2.14599119 1.41319142 -122.956238 80.969904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41319894-1.41319142) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41319894-1.41319142) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14599119) × cos(1.41319894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156945823752826 × 6371000     		do = 47.9252953412144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14599119) × cos(1.41319142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156953250554634 × 6371000     		du = 47.9275632044912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41319894)-sin(1.41319142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156945823752826-0.156953250554634)×R²
    abs(-2.14599119--2.14603912)×7.42680180876309e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.42680180876309e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.42680180876309e-06×40589641000000     		ar = 2296.1513924119m²