Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20767 / 12515
↖ ↑ ↗
← N 80.996162°
W122.961731°		 ← 47.80 m → N 80.996162°
W122.958984°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.995732°
W122.961731°		 ← 47.80 m →
2 284 m²		 N 80.995732°
W122.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158443450927734 y=0.0954856872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158443450927734 × 217)
    floor (0.158443450927734 × 131072)
    floor (20767.5)     		tx = 20767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954856872558594 × 217)
    floor (0.0954856872558594 × 131072)
    floor (12515.5)     		ty = 12515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20767 / 12515 ti = "17/20767/12515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20767/12515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20767 ÷ 217
    20767 ÷ 131072     		x = 0.158439636230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12515 ÷ 217
    12515 ÷ 131072     		y = 0.0954818725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158439636230469 × 2 - 1) × π
    -0.683120727539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14608706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954818725585938 × 2 - 1) × π
    0.809036254882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.541662354755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14608706} λ = -2.14608706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.541662354755))-π/2
    2×atan(12.7007666115253)-π/2
    2×1.4922230200406-π/2
    2.98444604008121-1.57079632675     		φ = 1.41364971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14608706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.961731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41364971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.996162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20767 KachelY 12515 -2.14608706 1.41364971 -122.961731 80.996162
    Oben rechts KachelX + 1 20768 KachelY 12515 -2.14603912 1.41364971 -122.958984 80.996162
    Unten links KachelX 20767 KachelY + 1 12516 -2.14608706 1.41364221 -122.961731 80.995732
    Unten rechts KachelX + 1 20768 KachelY + 1 12516 -2.14603912 1.41364221 -122.958984 80.995732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41364971-1.41364221) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dl = 47.7825000010204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41364971-1.41364221) × R
    7.50000000016016e-06 × 6371000     		dr = 47.7825000010204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14608706--2.14603912) × cos(1.41364971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156500624119023 × 6371000     		do = 47.7993189319832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14608706--2.14603912) × cos(1.41364221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15650803169857 × 6371000     		du = 47.8015813974478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41364971)-sin(1.41364221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156500624119023-0.15650803169857)×R²
    abs(-2.14603912--2.14608706)×7.40757954667548e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40757954667548e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40757954667548e-06×40589641000000     		ar = 2284.02501004329m²