Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20766 / 12510
↖ ↑ ↗
← N 80.998311°
W122.964478°		 ← 47.79 m → N 80.998311°
W122.961731°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.997882°
W122.964478°		 ← 47.79 m →
2 283 m²		 N 80.997882°
W122.961731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158435821533203 y=0.0954475402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158435821533203 × 217)
    floor (0.158435821533203 × 131072)
    floor (20766.5)     		tx = 20766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954475402832031 × 217)
    floor (0.0954475402832031 × 131072)
    floor (12510.5)     		ty = 12510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20766 / 12510 ti = "17/20766/12510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20766/12510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20766 ÷ 217
    20766 ÷ 131072     		x = 0.158432006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12510 ÷ 217
    12510 ÷ 131072     		y = 0.0954437255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158432006835938 × 2 - 1) × π
    -0.683135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14613500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0954437255859375 × 2 - 1) × π
    0.809112548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5419020392531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14613500} λ = -2.14613500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5419020392531))-π/2
    2×atan(12.7038111532463)-π/2
    2×1.49224177320717-π/2
    2.98448354641434-1.57079632675     		φ = 1.41368722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14613500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.964478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41368722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.998311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20766 KachelY 12510 -2.14613500 1.41368722 -122.964478 80.998311
    Oben rechts KachelX + 1 20767 KachelY 12510 -2.14608706 1.41368722 -122.961731 80.998311
    Unten links KachelX 20766 KachelY + 1 12511 -2.14613500 1.41367972 -122.964478 80.997882
    Unten rechts KachelX + 1 20767 KachelY + 1 12511 -2.14608706 1.41367972 -122.961731 80.997882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41368722-1.41367972) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41368722-1.41367972) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14613500--2.14608706) × cos(1.41368722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156463576212414 × 6371000     		do = 47.7880035476917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14613500--2.14608706) × cos(1.41367972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156470983835984 × 6371000     		du = 47.7902660266022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41368722)-sin(1.41367972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156463576212414-0.156470983835984)×R²
    abs(-2.14608706--2.14613500)×7.40762356982172e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40762356982172e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40762356982172e-06×40589641000000     		ar = 2283.48433292583m²