Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20764 / 12500
↖ ↑ ↗
← N 81.002608°
W122.969971°		 ← 47.77 m → N 81.002608°
W122.967224°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.002178°
W122.969971°		 ← 47.77 m →
2 282 m²		 N 81.002178°
W122.967224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158420562744141 y=0.0953712463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158420562744141 × 217)
    floor (0.158420562744141 × 131072)
    floor (20764.5)     		tx = 20764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953712463378906 × 217)
    floor (0.0953712463378906 × 131072)
    floor (12500.5)     		ty = 12500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20764 / 12500 ti = "17/20764/12500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20764/12500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20764 ÷ 217
    20764 ÷ 131072     		x = 0.158416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12500 ÷ 217
    12500 ÷ 131072     		y = 0.095367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.68316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14623087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095367431640625 × 2 - 1) × π
    0.80926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5423814082493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14623087} λ = -2.14623087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5423814082493))-π/2
    2×atan(12.7099024263138)-π/2
    2×1.49227926622444-π/2
    2.98455853244889-1.57079632675     		φ = 1.41376221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14623087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41376221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.002608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20764 KachelY 12500 -2.14623087 1.41376221 -122.969971 81.002608
    Oben rechts KachelX + 1 20765 KachelY 12500 -2.14618293 1.41376221 -122.967224 81.002608
    Unten links KachelX 20764 KachelY + 1 12501 -2.14623087 1.41375471 -122.969971 81.002178
    Unten rechts KachelX + 1 20765 KachelY + 1 12501 -2.14618293 1.41375471 -122.967224 81.002178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41376221-1.41375471) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41376221-1.41375471) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14623087--2.14618293) × cos(1.41376221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15638950936968 × 6371000     		do = 47.76538162744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14623087--2.14618293) × cos(1.41375471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15639691708123 × 6371000     		du = 47.7676441332219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41376221)-sin(1.41375471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15638950936968-0.15639691708123)×R²
    abs(-2.14618293--2.14623087)×7.40771155011144e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40771155011144e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40771155011144e-06×40589641000000     		ar = 2282.40340168681m²