Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20761 / 4077
↖ ↑ ↗
← N 79.210481°
E 48.087158°		 ← 228.69 m → N 79.210481°
E 48.098145°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
N 79.208424°
E 48.087158°		 ← 228.74 m →
52 311 m²		 N 79.208424°
E 48.098145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633590698242188 y=0.124435424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633590698242188 × 215)
    floor (0.633590698242188 × 32768)
    floor (20761.5)     		tx = 20761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124435424804688 × 215)
    floor (0.124435424804688 × 32768)
    floor (4077.5)     		ty = 4077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20761 / 4077 ti = "15/20761/4077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20761/4077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20761 ÷ 215
    20761 ÷ 32768     		x = 0.633575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4077 ÷ 215
    4077 ÷ 32768     		y = 0.124420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633575439453125 × 2 - 1) × π
    0.26715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83927924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124420166015625 × 2 - 1) × π
    0.75115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35983769449612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83927924} λ = 0.83927924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35983769449612))-π/2
    2×atan(10.5892326222133)-π/2
    2×1.47664001251276-π/2
    2.95328002502551-1.57079632675     		φ = 1.38248370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83927924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38248370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.210481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20761 KachelY 4077 0.83927924 1.38248370 48.087158 79.210481
    Oben rechts KachelX + 1 20762 KachelY 4077 0.83947099 1.38248370 48.098145 79.210481
    Unten links KachelX 20761 KachelY + 1 4078 0.83927924 1.38244780 48.087158 79.208424
    Unten rechts KachelX + 1 20762 KachelY + 1 4078 0.83947099 1.38244780 48.098145 79.208424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38248370-1.38244780) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dl = 228.718900000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38248370-1.38244780) × R
    3.59000000000886e-05 × 6371000     		dr = 228.718900000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83927924-0.83947099) × cos(1.38248370) × R
    0.000191750000000046 × 0.187201619267044 × 6371000     		do = 228.692845760232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83927924-0.83947099) × cos(1.38244780) × R
    0.000191750000000046 × 0.187236884488698 × 6371000     		du = 228.735927139165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38248370)-sin(1.38244780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187201619267044-0.187236884488698)×R²
    abs(0.83947099-0.83927924)×3.52652216543681e-05×R²
    0.000191750000000046×3.52652216543681e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.52652216543681e-05×40589641000000     		ar = 52311.3028890399m²