Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20761 / 11769
↖ ↑ ↗
← N 81.311226°
W122.978210°		 ← 46.14 m → N 81.311226°
W122.975464°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.310811°
W122.978210°		 ← 46.14 m →
2 128 m²		 N 81.310811°
W122.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158397674560547 y=0.0897941589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158397674560547 × 217)
    floor (0.158397674560547 × 131072)
    floor (20761.5)     		tx = 20761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897941589355469 × 217)
    floor (0.0897941589355469 × 131072)
    floor (11769.5)     		ty = 11769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20761 / 11769 ti = "17/20761/11769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20761/11769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20761 ÷ 217
    20761 ÷ 131072     		x = 0.158393859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11769 ÷ 217
    11769 ÷ 131072     		y = 0.0897903442382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158393859863281 × 2 - 1) × π
    -0.683212280273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.14637468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897903442382812 × 2 - 1) × π
    0.820419311523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.57742328187156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14637468} λ = -2.14637468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57742328187156))-π/2
    2×atan(13.1631766279566)-π/2
    2×1.494972468004-π/2
    2.98994493600801-1.57079632675     		φ = 1.41914861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14637468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.978210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41914861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.311226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20761 KachelY 11769 -2.14637468 1.41914861 -122.978210 81.311226
    Oben rechts KachelX + 1 20762 KachelY 11769 -2.14632674 1.41914861 -122.975464 81.311226
    Unten links KachelX 20761 KachelY + 1 11770 -2.14637468 1.41914137 -122.978210 81.310811
    Unten rechts KachelX + 1 20762 KachelY + 1 11770 -2.14632674 1.41914137 -122.975464 81.310811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41914861-1.41914137) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41914861-1.41914137) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14637468--2.14632674) × cos(1.41914861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151067143587786 × 6371000     		do = 46.1397941199556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14637468--2.14632674) × cos(1.41914137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151074300493996 × 6371000     		du = 46.1419800233309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41914861)-sin(1.41914137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151067143587786-0.151074300493996)×R²
    abs(-2.14632674--2.14637468)×7.15690621019838e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15690621019838e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15690621019838e-06×40589641000000     		ar = 2128.29640256071m²