Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20760 / 30424
↖ ↑ ↗
← N 68.950500°
W122.980957°		 ← 109.70 m → N 68.950500°
W122.978210°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
N 68.949514°
W122.980957°		 ← 109.71 m →
12 035 m²		 N 68.949514°
W122.978210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158390045166016 y=0.232120513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158390045166016 × 217)
    floor (0.158390045166016 × 131072)
    floor (20760.5)     		tx = 20760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232120513916016 × 217)
    floor (0.232120513916016 × 131072)
    floor (30424.5)     		ty = 30424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20760 / 30424 ti = "17/20760/30424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20760/30424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20760 ÷ 217
    20760 ÷ 131072     		x = 0.15838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30424 ÷ 217
    30424 ÷ 131072     		y = 0.23211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.6832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14642262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23211669921875 × 2 - 1) × π
    0.5357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68316041945941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14642262} λ = -2.14642262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68316041945941))-π/2
    2×atan(5.38254020313545)-π/2
    2×1.38710478847908-π/2
    2.77420957695815-1.57079632675     		φ = 1.20341325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14642262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20341325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.950500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20760 KachelY 30424 -2.14642262 1.20341325 -122.980957 68.950500
    Oben rechts KachelX + 1 20761 KachelY 30424 -2.14637468 1.20341325 -122.978210 68.950500
    Unten links KachelX 20760 KachelY + 1 30425 -2.14642262 1.20339603 -122.980957 68.949514
    Unten rechts KachelX + 1 20761 KachelY + 1 30425 -2.14637468 1.20339603 -122.978210 68.949514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20341325-1.20339603) × R
    1.7220000000151e-05 × 6371000     		dl = 109.708620000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20341325-1.20339603) × R
    1.7220000000151e-05 × 6371000     		dr = 109.708620000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14642262--2.14637468) × cos(1.20341325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359174367461832 × 6371000     		do = 109.70109697099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14642262--2.14637468) × cos(1.20339603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359190438326105 × 6371000     		du = 109.706005426603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20341325)-sin(1.20339603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359174367461832-0.359190438326105)×R²
    abs(-2.14637468--2.14642262)×1.60708642731322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60708642731322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60708642731322e-05×40589641000000     		ar = 12035.4252115448m²