Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20760 / 12552
↖ ↑ ↗
← N 80.980244°
W122.980957°		 ← 47.88 m → N 80.980244°
W122.978210°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
N 80.979813°
W122.980957°		 ← 47.89 m →
2 294 m²		 N 80.979813°
W122.978210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158390045166016 y=0.0957679748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158390045166016 × 217)
    floor (0.158390045166016 × 131072)
    floor (20760.5)     		tx = 20760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957679748535156 × 217)
    floor (0.0957679748535156 × 131072)
    floor (12552.5)     		ty = 12552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20760 / 12552 ti = "17/20760/12552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20760/12552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20760 ÷ 217
    20760 ÷ 131072     		x = 0.15838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12552 ÷ 217
    12552 ÷ 131072     		y = 0.09576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.6832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14642262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09576416015625 × 2 - 1) × π
    0.8084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53988868946906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14642262} λ = -2.14642262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53988868946906))-π/2
    2×atan(12.6782596684738)-π/2
    2×1.49208410854541-π/2
    2.98416821709082-1.57079632675     		φ = 1.41337189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14642262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41337189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.980244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20760 KachelY 12552 -2.14642262 1.41337189 -122.980957 80.980244
    Oben rechts KachelX + 1 20761 KachelY 12552 -2.14637468 1.41337189 -122.978210 80.980244
    Unten links KachelX 20760 KachelY + 1 12553 -2.14642262 1.41336437 -122.980957 80.979813
    Unten rechts KachelX + 1 20761 KachelY + 1 12553 -2.14637468 1.41336437 -122.978210 80.979813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41337189-1.41336437) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41337189-1.41336437) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14642262--2.14637468) × cos(1.41337189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156775014738822 × 6371000     		do = 47.8831248900843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14642262--2.14637468) × cos(1.41336437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156782441744646 × 6371000     		du = 47.885393288834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41337189)-sin(1.41336437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156775014738822-0.156782441744646)×R²
    abs(-2.14637468--2.14642262)×7.42700582373468e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42700582373468e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42700582373468e-06×40589641000000     		ar = 2294.13102240377m²