Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20758 / 12499
↖ ↑ ↗
← N 81.003037°
W122.986450°		 ← 47.76 m → N 81.003037°
W122.983703°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.002608°
W122.986450°		 ← 47.77 m →
2 279 m²		 N 81.002608°
W122.983703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158374786376953 y=0.0953636169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158374786376953 × 217)
    floor (0.158374786376953 × 131072)
    floor (20758.5)     		tx = 20758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953636169433594 × 217)
    floor (0.0953636169433594 × 131072)
    floor (12499.5)     		ty = 12499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20758 / 12499 ti = "17/20758/12499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20758/12499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20758 ÷ 217
    20758 ÷ 131072     		x = 0.158370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12499 ÷ 217
    12499 ÷ 131072     		y = 0.0953598022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.683258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14651849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953598022460938 × 2 - 1) × π
    0.809280395507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.54242934514892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14651849} λ = -2.14651849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54242934514892))-π/2
    2×atan(12.7105117142342)-π/2
    2×1.49228301454991-π/2
    2.98456602909983-1.57079632675     		φ = 1.41376970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14651849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41376970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.003037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20758 KachelY 12499 -2.14651849 1.41376970 -122.986450 81.003037
    Oben rechts KachelX + 1 20759 KachelY 12499 -2.14647055 1.41376970 -122.983703 81.003037
    Unten links KachelX 20758 KachelY + 1 12500 -2.14651849 1.41376221 -122.986450 81.002608
    Unten rechts KachelX + 1 20759 KachelY + 1 12500 -2.14647055 1.41376221 -122.983703 81.002608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41376970-1.41376221) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41376970-1.41376221) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14651849--2.14647055) × cos(1.41376970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156382111526299 × 6371000     		do = 47.763122135651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14651849--2.14647055) × cos(1.41376221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15638950936968 × 6371000     		du = 47.76538162744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41376970)-sin(1.41376221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156382111526299-0.15638950936968)×R²
    abs(-2.14647055--2.14651849)×7.39784338074645e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39784338074645e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39784338074645e-06×40589641000000     		ar = 2279.25230496896m²