Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20757 / 11537
↖ ↑ ↗
← N 81.406960°
W122.989197°		 ← 45.64 m → N 81.406960°
W122.986450°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
N 81.406549°
W122.989197°		 ← 45.64 m →
2 082 m²		 N 81.406549°
W122.986450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158367156982422 y=0.0880241394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158367156982422 × 217)
    floor (0.158367156982422 × 131072)
    floor (20757.5)     		tx = 20757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880241394042969 × 217)
    floor (0.0880241394042969 × 131072)
    floor (11537.5)     		ty = 11537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20757 / 11537 ti = "17/20757/11537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20757/11537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20757 ÷ 217
    20757 ÷ 131072     		x = 0.158363342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11537 ÷ 217
    11537 ÷ 131072     		y = 0.0880203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158363342285156 × 2 - 1) × π
    -0.683273315429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.14656643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880203247070312 × 2 - 1) × π
    0.823959350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.58854464258341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14656643} λ = -2.14656643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58854464258341))-π/2
    2×atan(13.3103861310486)-π/2
    2×1.49580790302775-π/2
    2.9916158060555-1.57079632675     		φ = 1.42081948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14656643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.989197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42081948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.406960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20757 KachelY 11537 -2.14656643 1.42081948 -122.989197 81.406960
    Oben rechts KachelX + 1 20758 KachelY 11537 -2.14651849 1.42081948 -122.986450 81.406960
    Unten links KachelX 20757 KachelY + 1 11538 -2.14656643 1.42081232 -122.989197 81.406549
    Unten rechts KachelX + 1 20758 KachelY + 1 11538 -2.14651849 1.42081232 -122.986450 81.406549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42081948-1.42081232) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42081948-1.42081232) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14656643--2.14651849) × cos(1.42081948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149415239213979 × 6371000     		do = 45.6352600041766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14656643--2.14651849) × cos(1.42081232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149422318835838 × 6371000     		du = 45.6374223029219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42081948)-sin(1.42081232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149415239213979-0.149422318835838)×R²
    abs(-2.14651849--2.14656643)×7.07962185952926e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07962185952926e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07962185952926e-06×40589641000000     		ar = 2081.76376715291m²