Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20756 / 12498
↖ ↑ ↗
← N 81.003467°
W122.991943°		 ← 47.75 m → N 81.003467°
W122.989197°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.003037°
W122.991943°		 ← 47.75 m →
2 282 m²		 N 81.003037°
W122.989197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158359527587891 y=0.0953559875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158359527587891 × 217)
    floor (0.158359527587891 × 131072)
    floor (20756.5)     		tx = 20756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953559875488281 × 217)
    floor (0.0953559875488281 × 131072)
    floor (12498.5)     		ty = 12498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20756 / 12498 ti = "17/20756/12498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20756/12498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20756 ÷ 217
    20756 ÷ 131072     		x = 0.158355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12498 ÷ 217
    12498 ÷ 131072     		y = 0.0953521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.68328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14661436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953521728515625 × 2 - 1) × π
    0.809295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54247728204854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14661436} λ = -2.14661436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54247728204854))-π/2
    2×atan(12.7111210313626)-π/2
    2×1.49228676269792-π/2
    2.98457352539584-1.57079632675     		φ = 1.41377720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14661436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.991943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41377720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.003467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20756 KachelY 12498 -2.14661436 1.41377720 -122.991943 81.003467
    Oben rechts KachelX + 1 20757 KachelY 12498 -2.14656643 1.41377720 -122.989197 81.003467
    Unten links KachelX 20756 KachelY + 1 12499 -2.14661436 1.41376970 -122.991943 81.003037
    Unten rechts KachelX + 1 20757 KachelY + 1 12499 -2.14656643 1.41376970 -122.989197 81.003037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41377720-1.41376970) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41377720-1.41376970) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14661436--2.14656643) × cos(1.41377720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156374703797167 × 6371000     		do = 47.7508969921809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14661436--2.14656643) × cos(1.41376970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156382111526299 × 6371000     		du = 47.7531590313863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41377720)-sin(1.41376970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156374703797167-0.156382111526299)×R²
    abs(-2.14656643--2.14661436)×7.40772913176979e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40772913176979e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40772913176979e-06×40589641000000     		ar = 2281.71127844873m²