Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20754 / 5394
↖ ↑ ↗
← N 76.137695°
E 48.010254°		 ← 292.68 m → N 76.137695°
E 48.021240°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
N 76.135063°
E 48.010254°		 ← 292.73 m →
85 670 m²		 N 76.135063°
E 48.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633377075195312 y=0.164627075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633377075195312 × 215)
    floor (0.633377075195312 × 32768)
    floor (20754.5)     		tx = 20754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164627075195312 × 215)
    floor (0.164627075195312 × 32768)
    floor (5394.5)     		ty = 5394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20754 / 5394 ti = "15/20754/5394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20754/5394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20754 ÷ 215
    20754 ÷ 32768     		x = 0.63336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5394 ÷ 215
    5394 ÷ 32768     		y = 0.16461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63336181640625 × 2 - 1) × π
    0.2667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83793701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16461181640625 × 2 - 1) × π
    0.6707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10730610729767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83793701} λ = 0.83793701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10730610729767))-π/2
    2×atan(8.22605130974812)-π/2
    2×1.44982489496847-π/2
    2.89964978993694-1.57079632675     		φ = 1.32885346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83793701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32885346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.137695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20754 KachelY 5394 0.83793701 1.32885346 48.010254 76.137695
    Oben rechts KachelX + 1 20755 KachelY 5394 0.83812875 1.32885346 48.021240 76.137695
    Unten links KachelX 20754 KachelY + 1 5395 0.83793701 1.32880752 48.010254 76.135063
    Unten rechts KachelX + 1 20755 KachelY + 1 5395 0.83812875 1.32880752 48.021240 76.135063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32885346-1.32880752) × R
    4.59399999999111e-05 × 6371000     		dl = 292.683739999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32885346-1.32880752) × R
    4.59399999999111e-05 × 6371000     		dr = 292.683739999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83793701-0.83812875) × cos(1.32885346) × R
    0.000191739999999996 × 0.23958935690619 × 6371000     		do = 292.676498040925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83793701-0.83812875) × cos(1.32880752) × R
    0.000191739999999996 × 0.239633958619488 × 6371000     		du = 292.730982402932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32885346)-sin(1.32880752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23958935690619-0.239633958619488)×R²
    abs(0.83812875-0.83793701)×4.46017132978149e-05×R²
    0.000191739999999996×4.46017132978149e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.46017132978149e-05×40589641000000     		ar = 85669.6254149987m²