Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20754 / 11538
↖ ↑ ↗
← N 81.406549°
W122.997437°		 ← 45.64 m → N 81.406549°
W122.994690°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
N 81.406139°
W122.997437°		 ← 45.64 m →
2 085 m²		 N 81.406139°
W122.994690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158344268798828 y=0.0880317687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158344268798828 × 217)
    floor (0.158344268798828 × 131072)
    floor (20754.5)     		tx = 20754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880317687988281 × 217)
    floor (0.0880317687988281 × 131072)
    floor (11538.5)     		ty = 11538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20754 / 11538 ti = "17/20754/11538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20754/11538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20754 ÷ 217
    20754 ÷ 131072     		x = 0.158340454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11538 ÷ 217
    11538 ÷ 131072     		y = 0.0880279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158340454101562 × 2 - 1) × π
    -0.683319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14671024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880279541015625 × 2 - 1) × π
    0.823944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58849670568379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14671024} λ = -2.14671024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58849670568379))-π/2
    2×atan(13.3097480876978)-π/2
    2×1.49580432169119-π/2
    2.99160864338239-1.57079632675     		φ = 1.42081232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14671024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.997437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42081232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.406549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20754 KachelY 11538 -2.14671024 1.42081232 -122.997437 81.406549
    Oben rechts KachelX + 1 20755 KachelY 11538 -2.14666230 1.42081232 -122.994690 81.406549
    Unten links KachelX 20754 KachelY + 1 11539 -2.14671024 1.42080515 -122.997437 81.406139
    Unten rechts KachelX + 1 20755 KachelY + 1 11539 -2.14666230 1.42080515 -122.994690 81.406139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42081232-1.42080515) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42081232-1.42080515) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14671024--2.14666230) × cos(1.42081232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149422318835838 × 6371000     		do = 45.6374223029219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14671024--2.14666230) × cos(1.42080515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149429408337762 × 6371000     		du = 45.6395876192931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42081232)-sin(1.42080515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149422318835838-0.149429408337762)×R²
    abs(-2.14666230--2.14671024)×7.08950192324087e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08950192324087e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08950192324087e-06×40589641000000     		ar = 2084.77010119347m²