Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20754 / 10994
↖ ↑ ↗
← N 81.626953°
W122.997437°		 ← 44.48 m → N 81.626953°
W122.994690°		 →
↑
44.47 m
↓
↑
44.47 m
↓
N 81.626553°
W122.997437°		 ← 44.48 m →
1 978 m²		 N 81.626553°
W122.994690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158344268798828 y=0.0838813781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158344268798828 × 217)
    floor (0.158344268798828 × 131072)
    floor (20754.5)     		tx = 20754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0838813781738281 × 217)
    floor (0.0838813781738281 × 131072)
    floor (10994.5)     		ty = 10994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20754 / 10994 ti = "17/20754/10994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20754/10994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20754 ÷ 217
    20754 ÷ 131072     		x = 0.158340454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10994 ÷ 217
    10994 ÷ 131072     		y = 0.0838775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158340454101562 × 2 - 1) × π
    -0.683319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14671024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0838775634765625 × 2 - 1) × π
    0.832244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6145743790771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14671024} λ = -2.14671024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6145743790771))-π/2
    2×atan(13.6614005623998)-π/2
    2×1.49772770639678-π/2
    2.99545541279357-1.57079632675     		φ = 1.42465909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14671024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.997437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42465909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.626953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20754 KachelY 10994 -2.14671024 1.42465909 -122.997437 81.626953
    Oben rechts KachelX + 1 20755 KachelY 10994 -2.14666230 1.42465909 -122.994690 81.626953
    Unten links KachelX 20754 KachelY + 1 10995 -2.14671024 1.42465211 -122.997437 81.626553
    Unten rechts KachelX + 1 20755 KachelY + 1 10995 -2.14666230 1.42465211 -122.994690 81.626553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42465909-1.42465211) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dl = 44.4695799999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42465909-1.42465211) × R
    6.97999999998977e-06 × 6371000     		dr = 44.4695799999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14671024--2.14666230) × cos(1.42465909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145617638556328 × 6371000     		do = 44.4753750130899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14671024--2.14666230) × cos(1.42465211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14562454415257 × 6371000     		du = 44.4774841599321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42465909)-sin(1.42465211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145617638556328-0.14562454415257)×R²
    abs(-2.14666230--2.14671024)×6.90559624130782e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.90559624130782e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.90559624130782e-06×40589641000000     		ar = 1977.84814362336m²