Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20753 / 5395
↖ ↑ ↗
← N 76.135063°
E 47.999268°		 ← 292.75 m → N 76.135063°
E 48.010254°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
N 76.132429°
E 47.999268°		 ← 292.80 m →
85 727 m²		 N 76.132429°
E 48.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633346557617188 y=0.164657592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633346557617188 × 215)
    floor (0.633346557617188 × 32768)
    floor (20753.5)     		tx = 20753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164657592773438 × 215)
    floor (0.164657592773438 × 32768)
    floor (5395.5)     		ty = 5395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20753 / 5395 ti = "15/20753/5395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20753/5395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20753 ÷ 215
    20753 ÷ 32768     		x = 0.633331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5395 ÷ 215
    5395 ÷ 32768     		y = 0.164642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633331298828125 × 2 - 1) × π
    0.26666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83774526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164642333984375 × 2 - 1) × π
    0.67071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10711435969919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83774526} λ = 0.83774526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10711435969919))-π/2
    2×atan(8.22447413537904)-π/2
    2×1.44980192248862-π/2
    2.89960384497725-1.57079632675     		φ = 1.32880752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83774526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32880752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.135063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20753 KachelY 5395 0.83774526 1.32880752 47.999268 76.135063
    Oben rechts KachelX + 1 20754 KachelY 5395 0.83793701 1.32880752 48.010254 76.135063
    Unten links KachelX 20753 KachelY + 1 5396 0.83774526 1.32876156 47.999268 76.132429
    Unten rechts KachelX + 1 20754 KachelY + 1 5396 0.83793701 1.32876156 48.010254 76.132429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32880752-1.32876156) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32880752-1.32876156) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83774526-0.83793701) × cos(1.32880752) × R
    0.000191749999999935 × 0.239633958619488 × 6371000     		do = 292.746249482343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83774526-0.83793701) × cos(1.32876156) × R
    0.000191749999999935 × 0.239678579244088 × 6371000     		du = 292.800759788714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32880752)-sin(1.32876156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239633958619488-0.239678579244088)×R²
    abs(0.83793701-0.83774526)×4.46206246003111e-05×R²
    0.000191749999999935×4.46206246003111e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.46206246003111e-05×40589641000000     		ar = 85727.3495247351m²