Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20753 / 13585
↖ ↑ ↗
← N 80.524388°
W123.000183°		 ← 50.28 m → N 80.524388°
W122.997437°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.523935°
W123.000183°		 ← 50.28 m →
2 528 m²		 N 80.523935°
W122.997437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158336639404297 y=0.103649139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158336639404297 × 217)
    floor (0.158336639404297 × 131072)
    floor (20753.5)     		tx = 20753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103649139404297 × 217)
    floor (0.103649139404297 × 131072)
    floor (13585.5)     		ty = 13585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20753 / 13585 ti = "17/20753/13585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20753/13585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20753 ÷ 217
    20753 ÷ 131072     		x = 0.158332824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13585 ÷ 217
    13585 ÷ 131072     		y = 0.103645324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158332824707031 × 2 - 1) × π
    -0.683334350585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.14675818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103645324707031 × 2 - 1) × π
    0.792709350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.49036987216154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14675818} λ = -2.14675818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49036987216154))-π/2
    2×atan(12.06573807584)-π/2
    2×1.48810600777303-π/2
    2.97621201554607-1.57079632675     		φ = 1.40541569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14675818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.000183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40541569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.524388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20753 KachelY 13585 -2.14675818 1.40541569 -123.000183 80.524388
    Oben rechts KachelX + 1 20754 KachelY 13585 -2.14671024 1.40541569 -122.997437 80.524388
    Unten links KachelX 20753 KachelY + 1 13586 -2.14675818 1.40540780 -123.000183 80.523935
    Unten rechts KachelX + 1 20754 KachelY + 1 13586 -2.14671024 1.40540780 -122.997437 80.523935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40541569-1.40540780) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40541569-1.40540780) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14675818--2.14671024) × cos(1.40541569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164627786203823 × 6371000     		do = 50.2815634258314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14675818--2.14671024) × cos(1.40540780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164635568545672 × 6371000     		du = 50.2839403533496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40541569)-sin(1.40540780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164627786203823-0.164635568545672)×R²
    abs(-2.14671024--2.14675818)×7.78234184900528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.78234184900528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.78234184900528e-06×40589641000000     		ar = 2527.57264303048m²