Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20752 / 12528
↖ ↑ ↗
← N 80.990573°
W123.002930°		 ← 47.82 m → N 80.990573°
W123.000183°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
N 80.990143°
W123.002930°		 ← 47.82 m →
2 288 m²		 N 80.990143°
W123.000183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158329010009766 y=0.0955848693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158329010009766 × 217)
    floor (0.158329010009766 × 131072)
    floor (20752.5)     		tx = 20752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955848693847656 × 217)
    floor (0.0955848693847656 × 131072)
    floor (12528.5)     		ty = 12528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20752 / 12528 ti = "17/20752/12528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20752/12528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20752 ÷ 217
    20752 ÷ 131072     		x = 0.1583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12528 ÷ 217
    12528 ÷ 131072     		y = 0.0955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14680611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955810546875 × 2 - 1) × π
    0.808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54103917505994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14680611} λ = -2.14680611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54103917505994))-π/2
    2×atan(12.6928542173391)-π/2
    2×1.49217424102586-π/2
    2.98434848205173-1.57079632675     		φ = 1.41355216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14680611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41355216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.990573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20752 KachelY 12528 -2.14680611 1.41355216 -123.002930 80.990573
    Oben rechts KachelX + 1 20753 KachelY 12528 -2.14675818 1.41355216 -123.000183 80.990573
    Unten links KachelX 20752 KachelY + 1 12529 -2.14680611 1.41354465 -123.002930 80.990143
    Unten rechts KachelX + 1 20753 KachelY + 1 12529 -2.14675818 1.41354465 -123.000183 80.990143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41355216-1.41354465) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41355216-1.41354465) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14680611--2.14675818) × cos(1.41355216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156596971349459 × 6371000     		do = 47.818769063152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14680611--2.14675818) × cos(1.41354465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156604388691082 × 6371000     		du = 47.8210340376472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41355216)-sin(1.41354465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156596971349459-0.156604388691082)×R²
    abs(-2.14675818--2.14680611)×7.41734162301722e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.41734162301722e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.41734162301722e-06×40589641000000     		ar = 2288.00105174623m²