Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20751 / 30455
↖ ↑ ↗
← N 68.919897°
W123.005676°		 ← 109.85 m → N 68.919897°
W123.002930°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 68.918910°
W123.005676°		 ← 109.86 m →
12 066 m²		 N 68.918910°
W123.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158321380615234 y=0.232357025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158321380615234 × 217)
    floor (0.158321380615234 × 131072)
    floor (20751.5)     		tx = 20751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232357025146484 × 217)
    floor (0.232357025146484 × 131072)
    floor (30455.5)     		ty = 30455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20751 / 30455 ti = "17/20751/30455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20751/30455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20751 ÷ 217
    20751 ÷ 131072     		x = 0.158317565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30455 ÷ 217
    30455 ÷ 131072     		y = 0.232353210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158317565917969 × 2 - 1) × π
    -0.683364868164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14685405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232353210449219 × 2 - 1) × π
    0.535293579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.68167437557119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14685405} λ = -2.14685405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68167437557119))-π/2
    2×atan(5.37454745242353)-π/2
    2×1.38683772890799-π/2
    2.77367545781597-1.57079632675     		φ = 1.20287913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14685405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.005676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20287913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.919897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20751 KachelY 30455 -2.14685405 1.20287913 -123.005676 68.919897
    Oben rechts KachelX + 1 20752 KachelY 30455 -2.14680611 1.20287913 -123.002930 68.919897
    Unten links KachelX 20751 KachelY + 1 30456 -2.14685405 1.20286189 -123.005676 68.918910
    Unten rechts KachelX + 1 20752 KachelY + 1 30456 -2.14680611 1.20286189 -123.002930 68.918910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20287913-1.20286189) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dl = 109.836039998773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20287913-1.20286189) × R
    1.72399999998074e-05 × 6371000     		dr = 109.836039998773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14685405--2.14680611) × cos(1.20287913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359672794629212 × 6371000     		do = 109.853329457423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14685405--2.14680611) × cos(1.20286189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359688880849042 × 6371000     		du = 109.858242603018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20287913)-sin(1.20286189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359672794629212-0.359688880849042)×R²
    abs(-2.14680611--2.14685405)×1.60862198297362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60862198297362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60862198297362e-05×40589641000000     		ar = 12066.1245087861m²