Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20750 / 5398
↖ ↑ ↗
← N 76.127162°
E 47.966308°		 ← 292.91 m → N 76.127162°
E 47.977295°		 →
↑
292.94 m
↓
↑
292.94 m
↓
N 76.124528°
E 47.966308°		 ← 292.96 m →
85 813 m²		 N 76.124528°
E 47.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633255004882812 y=0.164749145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633255004882812 × 215)
    floor (0.633255004882812 × 32768)
    floor (20750.5)     		tx = 20750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164749145507812 × 215)
    floor (0.164749145507812 × 32768)
    floor (5398.5)     		ty = 5398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20750 / 5398 ti = "15/20750/5398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20750/5398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20750 ÷ 215
    20750 ÷ 32768     		x = 0.63323974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5398 ÷ 215
    5398 ÷ 32768     		y = 0.16473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63323974609375 × 2 - 1) × π
    0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16473388671875 × 2 - 1) × π
    0.6705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10653911690375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83717001} λ = 0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10653911690375))-π/2
    2×atan(8.21974442638231)-π/2
    2×1.44973297938426-π/2
    2.89946595876852-1.57079632675     		φ = 1.32866963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32866963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.127162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20750 KachelY 5398 0.83717001 1.32866963 47.966308 76.127162
    Oben rechts KachelX + 1 20751 KachelY 5398 0.83736176 1.32866963 47.977295 76.127162
    Unten links KachelX 20750 KachelY + 1 5399 0.83717001 1.32862365 47.966308 76.124528
    Unten rechts KachelX + 1 20751 KachelY + 1 5399 0.83736176 1.32862365 47.977295 76.124528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32866963-1.32862365) × R
    4.5980000000112e-05 × 6371000     		dl = 292.938580000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32866963-1.32862365) × R
    4.5980000000112e-05 × 6371000     		dr = 292.938580000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83717001-0.83736176) × cos(1.32866963) × R
    0.000191749999999935 × 0.239767828682662 × 6371000     		do = 292.909790405917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83717001-0.83736176) × cos(1.32862365) × R
    0.000191749999999935 × 0.23981246720442 × 6371000     		du = 292.964322576157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32866963)-sin(1.32862365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239767828682662-0.23981246720442)×R²
    abs(0.83736176-0.83717001)×4.46385217574008e-05×R²
    0.000191749999999935×4.46385217574008e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.46385217574008e-05×40589641000000     		ar = 85812.5653731392m²